Logarithmengesetze

Arithmetik & Algebra Klasse 10

Warum wird aus einem Produkt eine Summe?
Wofür braucht man den Basiswechsel?

Rechnen mit Logarithmus

Bei manchen Gleichungen mit Potenzen benötigt man zur Lösung den Logarithmus - insbesondere dann, wenn die Unbekannte als Exponent auftritt.

Definition des Logarithmus

Mit $\log_b(a)$ bezeichnet man die eindeutige Lösung der Gleichung $b^x=a$. Dabei nehmen wir an, dass $b$ und $a$ positive Zahlen sind. Das heißt, es gilt:

$\begin{array}{rrcl}&b^x&=&a\\\Leftrightarrow&x&=&\log_b(a)\end{array}$

So ist $\log_2(8) = 3$, weil $2^3=8$ ist.

Rechenregeln

Beispiel

Basisumrechnung

Kennt man den Logarithmus zu einer bestimmten Basis $a$, so kann man damit den Logarithmus zu einer beliebigen Basis $b$ mit folgender Formel berechnen:

$$\log_b(x)=\frac{\log_a(x)}{\log_a(b)}$$

Somit kann man beispielsweise Logarithmen zu einer beliebigen Basis mit dem Taschenrechner berechnen, auch, wenn dieser nur den natürlichen Logarithmus oder den Zehnerlogarithmus (also zur Basis 10) bereitstellt.

Beispiele

$\quad\log_{16}(64)$

Eine ähnliche Methode zur genauen Berechnung eines Logarithmusausdrucks nennt sich Exponentenvergleich:

$$\qquad\log_4(8)$$

Schreibe den Logarithmusausdruck in die Form zurück, aus der er entstanden ist. Der Logarithmus fragt nach: "$4$ hoch was ergibt $8$?"

$$\qquad\rightarrow4^x=8$$

Erkenne hier, dass $4$ und $8$ beides Zahlen sind, die auch durch eine Zweierpotenz darstellbar sind.

$$\qquad\rightarrow(2^2)^x=2^3$$

Mit den Potenzgesetzen kann der Ausdruck umgeformt werden.

$$\qquad\rightarrow2^{2x}=2^3$$

Der Exponentenvergleich erlaubt es, bei Gleichungen, bei denen auf beiden Seiten ein Exponentialausdruck mit gleicher Basis steht, nur die Exponenten in die Gleichung zu schreiben.

$$\qquad\rightarrow2x=3$$

Die Gleichung ist nun sehr leicht ohne Taschenrechner zu lösen. Das Ergebnis ist die vereinfachte Form des Logarithmusausdrucks.

$$\qquad\rightarrow x=1,5$$

$$\qquad\rightarrow \log_4(8)=1,5$$

Berechnung von $\log_2(100)$ nur mit dem natürlichen Logarithmus:
$\log_2(100)=\frac{\ln(100)}{\ln(2)}$
Die rechte Seite kann man nun leicht mit einem Taschenrechner berechnen, der nur den natürlichen Logarithmus bereitstellt.

Anwendung

Mit dem Logarithmus lassen sich Exponentialgleichungen lösen. Auch bestimmte Stellen von Exponentialfunktionen werden mithilfe des Logarithmus gefunden.

Erklärung von Serlo Education e. V., lizenziert unter CC BY-SA 4.0 – Original bei Serlo, CC BY-SA 4.0, übernommen am 2026-09-03.

Schlau Fassung

Die Logarithmengesetze

Produktregel: $\log_a(u\cdot v) = \log_a(u) + \log_a(v)$. Sie folgt direkt aus $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$ – Exponenten werden beim Multiplizieren addiert, und der Logarithmus ist genau dieser Exponent.
Quotientenregel: $\log_a\!\left(\dfrac{u}{v}\right) = \log_a(u) - \log_a(v)$.
Potenzregel: $\log_a(u^r) = r\cdot \log_a(u)$. Sie ist die wichtigste, denn sie holt eine Unbekannte aus dem Exponenten herunter.
Basiswechsel: $\log_a(c) = \dfrac{\ln(c)}{\ln(a)}$. Damit lässt sich jeder Logarithmus mit einem Taschenrechner berechnen, der nur $\lg$ und $\ln$ kennt.
Häufiger Fehler: $\log(u+v)$ lässt sich nicht zerlegen. Nur Produkt, Quotient und Potenz haben Regeln – Summen nicht.

Aufgaben

Fasse zusammen: $\lg(4) + \lg(25)$.
Lösung
$\lg(100) = 2$.
Schreibe $\log_2(x^5)$ ohne Exponenten.
Lösung
$5\cdot\log_2(x)$.
Berechne $\log_2(10)$ mit dem Basiswechsel.
Lösung
$\dfrac{\ln 10}{\ln 2} \approx 3{,}32$.

Weiterführende Aufgaben

Zeigt an einem selbst gewählten Beispiel, dass $\lg(2+3) \ne \lg(2) + \lg(3)$ ist, und erklärt, warum die Summenregel fehlt.