Fläche unter einem Graphen
Funktionen
Klasse 12
- Wie nähert man eine krumme Fläche mit Rechtecken an?
- Was bedeutet die Fläche unter einem Geschwindigkeit-Zeit-Graphen?
Zum Ausprobieren: Ableitung und Integral
Zeichnen Sie eine Funktion und beobachten Sie gleichzeitig Ableitung und Integral.
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Simulation von PhET Interactive Simulations, University of Colorado Boulder, lizenziert unter CC BY 4.0 (https://phet.colorado.edu)
Schlau Fassung
Die Fläche unter einem Graphen
- Die Fläche zwischen Graph und x-Achse lässt sich durch Rechtecke annähern: Man teilt das Intervall in Streifen und ersetzt jeden Streifen durch ein Rechteck.
- Nimmt man jeweils den größten Funktionswert, entsteht die Obersumme, beim kleinsten die Untersumme. Die gesuchte Fläche liegt dazwischen.
- Je schmaler die Streifen, desto näher rücken beide zusammen. Im Grenzfall ergibt sich ein Wert – das bestimmte Integral.
- Bedeutung in der Sache: Ist auf der y-Achse eine Geschwindigkeit aufgetragen, so ist die Fläche der zurückgelegte Weg; bei einer Zuflussrate die zugeflossene Menge.
- Allgemein gilt: Die Fläche unter einer Änderungsrate ergibt den Bestand. Das ist der Grund, warum Integrale weit über die Geometrie hinaus gebraucht werden.
- Flächen unterhalb der x-Achse zählen negativ – dort nimmt der Bestand ab.
Aufgaben
- Schätze die Fläche unter \(f(x)=x^2\) von 0 bis 2 mit vier Rechtecken (Untersumme).
Lösung
Breite 0,5; Werte bei 0; 0,25; 1; 2,25 → \(0{,}5\cdot 3{,}5 = 1{,}75\) (genau: \(\frac{8}{3}\approx 2{,}67\)). - Ein Auto fährt 10 s lang konstant 20 m/s. Wie weit kommt es – und wie sieht man das im Diagramm?
Lösung
200 m; als Rechteckfläche unter dem Graphen. - Was bedeutet eine Fläche unterhalb der Achse bei einem Kontostand-Diagramm?
Lösung
Eine Abnahme des Bestands.
Weiterführende Aufgaben
- Zeichne den Geschwindigkeitsverlauf einer Fahrradfahrt und schätze den Weg über die Fläche. Vergleiche mit der wirklichen Strecke.