Anwendungen des Integrals

Anwendungen des Integrals

• Grundgedanke: Integrieren führt von einer Änderungsrate zum Bestand – die Umkehrung des Ableitens.
• Physik: Aus der Geschwindigkeit \(v(t)\) wird der Weg, aus der Beschleunigung die Geschwindigkeit, aus einer Kraft längs eines Weges die Arbeit.
• Technik und Umwelt: Aus einer Zuflussrate wird die zugeflossene Menge, aus einer Leistungskurve die Energie, aus einer Emissionsrate die Gesamtmenge.
• Wirtschaft: Aus Grenzkosten werden Gesamtkosten.
• Mittelwert einer Funktion: \(\bar{f} = \frac{1}{b-a}\int_a^b f(x)\,\mathrm{d}x\) – so berechnet man etwa die mittlere Tagestemperatur aus einer Kurve.
• Rotationskörper: Dreht sich eine Fläche um die x-Achse, ist ihr Volumen \(V = \pi\int_a^b (f(x))^2\,\mathrm{d}x\).

1. Ein Zufluss beträgt \(v(t)=3t\) l/min. Wie viel fließt in den ersten 4 Minuten zu?
   Lösung

   \(\int_0^4 3t\,\mathrm{d}t = \left[\frac{3}{2}t^2\right]_0^4 = 24\) Liter.
2. Berechne den Mittelwert von \(f(x)=x^2\) auf \([0;3]\).
   Lösung

   \(\frac{1}{3}\cdot 9 = 3\).
3. Welches Volumen entsteht, wenn die Fläche unter \(f(x)=x\) von 0 bis 1 um die x-Achse rotiert?
   Lösung

   \(\pi\int_0^1 x^2\,\mathrm{d}x = \frac{\pi}{3}\) – der Kegel mit \(r=h=1\).

1. Suche eine Messkurve aus Physik oder Biologie und beschreibe, was die Fläche unter ihr in der Sache bedeutet.