Stetigkeit und Sprungstellen

Eine Funktion \(f\) heißt genau dann stetig an einer Stelle \(x_0\), wenn der Funktionswert an dieser Stelle mit sowohl dem links- als auch rechtsseitigem Grenzwert identisch ist, d.h. wenn gilt:

\(f(x_0)=\lim_{x\rightarrow x_0^-}f(x)=\lim_{x\rightarrow x_0^+}f(x)\)

Eine an allen Stellen des Definitionsbereichs stetige Funktion wird allgemein als stetig bezeichnet.

Umgekehrt nennt man eine Funktion unstetig, wenn obige Bedingung an mindestens einer Stelle ihres Definitionsbereichs nicht erfüllt ist.

Anschauliche Darstellung

Eine stetige Funktion hat die Eigenschaft, dass ihr Graph an keiner Stelle einen Sprung macht. Du kannst den Graphen der Funktion also "in einem Zug, ohne Absetzen" zeichnen. Entsprechend besitzt eine unstetige Funktion sogenannte Unstetigkeitsstellen (z.B. Sprünge). Folgende Funktion ist beispielsweise unstetig:

Epsilon-Delta-Definition der Stetigkeit

Alternative Definition von Stetigkeit

Eine Funktion \(f\) nennt man stetig im Punkt \(x\), wenn es für jedes \(\varepsilon>0\) ein \(\delta>0\) gibt, sodass für alle \(x'\in\;\rbrack x-\delta,x+\delta\lbrack\) gilt: \(\left|f(x)-f(x')\right|<\varepsilon\)

Ausführliche Erläuterung der Epsilon-Delta-Definition

Der Ausdruck \(\left|f(x)-f(x')\right|\) ganz am Schluss bezeichnet den Abstand der Funktionswerte von \(x\) und \(x'\). Wir wollen, dass stetige Funktionen folgende Eigenschaft haben: Wenn uns jemand einen Abstand \(\varepsilon\) vorgibt, können wir einen Bereich um \(x\) wählen, in dem der Abstand der Funktionswerte niemals größer als dieses \(\varepsilon\)  wird. Diesen Bereich wählen wir symmetrisch um \(x\) durch das Intervall \(\rbrack x-\delta,x+\delta\lbrack\). Wenn wir für jedes \(\varepsilon\) so eine Delta-Umgebung von x finden können, in der die Funktionswerte den \(\varepsilon\) -Abstand einhalten, dann ist die Funktion im Punkt \(x\) stetig.