Integralfunktion

Das Integral selbst ist nur ein Zahlenwert. Eine Integralfunktion ist eine Funktion, die den orientierten Flächeninhalt zwischen einer Funktion \(f\) und der \(x\)-Achse von einer gegebenen Stelle \(a\) bis zur Stelle \(x\) angibt.

$$F(x) = \int_a^x f(t)\operatorname{d}t$$

Integralfunktion berechnen

Eine Integralfunktion lässt sich wie ein bestimmtes Integral berechnen, nur dass die obere Grenze von einer Variablen \(x\) abhängt. Man erhält als Ergebnis eine Funktion und nicht wie beim Integral einen Zahlenwert.

Beispiel

Bestimme die Integralfunktion

1. Suche eine Stammfunktion:

Eine mögliche Stammfunktion zu \(t^2\) ist \(\frac13t^3\).

$$\int_3^x t^2\operatorname{d}t=\left[\frac13 t^3\right]_3^x$$

2. Einsetzen der Werte:

Setze die Werte der oberen und unteren Grenze in die Stammfunktion ein und ziehe das Ergebnis der oberen Grenze von dem der unteren Grenze ab. Da anders als beim bestimmten Integral die obere Grenze von einer Variable abhängt, lässt du für die obere Grenze einfach die Stammfunktion mit Variable stehen.

$$\int_3^x t^2\operatorname{d}t=\left[\frac13 t^3\right]_3^x=\frac13 x^3-9$$

Veranschaulichung am Applet

Anmerkungen

• Zu einer gegebenen Funktion \(f\) gibt es verschiedene Integralfunktionen, abhängig von der Konstante \(a\).

• Jede Integralfunktion hat an der Stelle \(x=a\) eine Nullstelle, also besitzt diese mindestens eine Nullstelle.

• Die Steigung einer Integralfunktion \(I(x)\) an einer Stelle \(x_0\) ist gleich dem Funktionswert \(f(x_0)\).

Video zur Integralfunktion