Stammfunktion
- Was ist eine Stammfunktion?
- Warum kommt beim unbestimmten Integral ein \(+C\) dazu?
Stammfunktion
In diesem Artikel lernst du die Stammfunktion anhand eines Beispiels kennen.
Eine Stammfunktion \(F\) einer ursprünglichen, stetigen Funktion \(f\) ist eine differenzierbare Funktion, deren Ableitung wieder die ursprüngliche Funktion \(f\) ist. Es gilt also
$$F'(x)=f(x)$$Umgekehrt ergibt das unbestimmte Integral über eine Funktion \(f\) alle Stammfunktionen \(F\). Es gilt also
$$\int f(x)\mathrm{d}x=F(x)+C \text{ mit } C\in\mathbb{R}$$
Zu einer Stammfunktion \(F\) kann man jede beliebige Zahl addieren und erhält wieder eine Stammfunktion, da eine konstante Zahl beim Ableiten wegfällt. Gibt man die allgemeine Stammfunktion an, so muss man ein "\(+C\)" hinzufügen, wobei \(C\) für diese beliebige, konstante Zahl steht.
Beispiel
Hat man die Funktion \(f(x)=x^2+2x-1\) gegeben, so lautet die allgemeine Stammfunktion zu \(f(x)\):
$$F_c(x)=\int x^2+2x-1\;\mathrm{d}x=\frac13x^3+x^2-x+C$$
Somit ist z.B. sowohl die Funktion
\(F_1(x)=\dfrac13x^3+x^2-x+1\) , als auch
\(F_2(x)=\dfrac13x^3+x^2-x-2\)
eine Stammfunktion von \(f(x)\). Das lässt sich nachprüfen, indem man beide Stammfunktionen ableitet:
\(F{_1}'(x)=x^2+2x-1+0=x^2+x-1=f(x)\)
\(F{_2}'(x)=x^2+2x-1-0=x^2+x-1=f(x)\)
Erklärung von Serlo Education e. V., lizenziert unter CC BY-SA 4.0 – Original bei Serlo, CC BY-SA 4.0, übernommen am 2026-09-03.
Schlau Fassung
Stammfunktionen
- Eine Stammfunktion \(F\) zu \(f\) ist eine Funktion mit \(F'(x) = f(x)\). Man macht das Ableiten also rückgängig.
- Weil die Ableitung einer Konstanten null ist, gibt es unendlich viele Stammfunktionen – sie unterscheiden sich nur um eine Zahl. Deshalb schreibt man \(+C\).
- Potenzregel rückwärts: zu \(x^n\) gehört \(\frac{1}{n+1}x^{n+1}+C\) (für \(n\neq -1\)).
- Weitere: zu \(\mathrm{e}^x\) gehört \(\mathrm{e}^x\), zu \(\frac{1}{x}\) gehört \(\ln|x|\), zu \(\cos x\) gehört \(\sin x\).
- Probe: Die gefundene Stammfunktion wieder ableiten – kommt \(f\) heraus, stimmt sie. Diese Probe ist immer möglich und sollte immer gemacht werden.
- Ist ein Punkt gegeben, durch den \(F\) gehen soll, lässt sich \(C\) bestimmen – so werden aus Änderungsraten wieder Bestände.
Aufgaben
- Bestimme eine Stammfunktion: (a) \(f(x)=4x^3\) (b) \(f(x)=6x^2-2x+5\).
Lösung
(a) \(x^4+C\) · (b) \(2x^3-x^2+5x+C\). - Bestimme \(F\) zu \(f(x)=2x\) mit \(F(1)=5\).
Lösung
\(F(x)=x^2+C\); \(1+C=5\) → \(C=4\); \(F(x)=x^2+4\). - Prüfe, ob \(F(x)=\frac{1}{3}x^3-x\) eine Stammfunktion von \(f(x)=x^2-1\) ist.
Lösung
\(F'(x)=x^2-1\) – ja.
Weiterführende Aufgaben
- Erstelle eine Tabelle „Funktion – Ableitung – Stammfunktion“ mit acht Zeilen und prüfe jede Zeile in beide Richtungen.