Terme & Gleichungen
Arithmetik & Algebra
Klasse 8, 9
- Wozu braucht man Variablen, wenn man die Zahl doch einsetzen könnte?
- Warum darf man \(3a+2b\) nicht zu \(5ab\) zusammenfassen?
- Was bedeutet „Äquivalenzumformung“ beim Lösen einer Gleichung?
Themen in diesem Bereich
Zum Ausprobieren: Gleichheit schaffen
Nehmen Sie auf beiden Seiten dasselbe weg und beobachten Sie, dass die Waage im Gleichgewicht bleibt.
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Simulation von PhET Interactive Simulations, University of Colorado Boulder, lizenziert unter CC BY 4.0 (https://phet.colorado.edu)
Schlau Fassung
Variablen, Terme und Gleichungen
- Eine Variable ist ein Platzhalter für eine Zahl. Ein Term ist ein Rechenausdruck mit Variablen, z. B. \(3x+5\). Er hat einen Wert, sobald man für \(x\) etwas einsetzt.
- Zusammenfassen darf man nur gleichartige Glieder: \(3a+4a = 7a\), aber \(3a+2b\) bleibt stehen – Äpfel und Birnen.
- Ausmultiplizieren: \(3(x+4) = 3x+12\). Faktorisieren ist der Rückweg: \(6x+9 = 3(2x+3)\).
- Eine Gleichung behauptet, dass zwei Terme denselben Wert haben. Gesucht ist die Zahl, für die das stimmt.
- Äquivalenzumformung: Was auf einer Seite geschieht, geschieht auch auf der anderen – erlaubt sind Addieren, Subtrahieren, Multiplizieren und Dividieren (nicht durch null). Die Lösungsmenge ändert sich dabei nicht. Bild: eine Waage, die im Gleichgewicht bleibt.
- Sachaufgaben löst man in drei Schritten: Variable festlegen („\(x\) = Anzahl der ...“), Gleichung aufstellen, lösen – und am Ende prüfen, ob das Ergebnis zur Frage passt.
Aufgaben
- Fasse zusammen: (a) \(5x+3-2x+7\) (b) \(4(a+2)-3a\).
Lösung
(a) \(3x+10\) · (b) \(4a+8-3a = a+8\). - Löse: (a) \(3x+7 = 22\) (b) \(5x-4 = 2x+11\).
Lösung
(a) \(3x = 15\), \(x = 5\). (b) \(3x = 15\), \(x = 5\). - Denke dir eine Zahl, verdopple sie, addiere 6 – das Ergebnis ist 20. Stelle eine Gleichung auf und löse sie.
Lösung
\(2x+6 = 20\); \(2x = 14\); \(x = 7\). - Zwei Handytarife: A kostet 8 € Grundgebühr und 0,10 € je Minute, B nur 0,18 € je Minute. Ab wann lohnt A?
Lösung
\(8+0{,}10x = 0{,}18x\) → \(8 = 0{,}08x\) → \(x = 100\) Minuten.
Weiterführende Aufgaben
- Schreibe zu drei Rechengeschichten aus deinem Alltag je eine Gleichung – und lass eine Mitschülerin sie lösen, ohne die Geschichte zu kennen.
- Untersuche, warum die Umformung „durch \(x\) teilen“ gefährlich ist. Finde eine Gleichung, bei der dabei eine Lösung verloren geht.