Ausmultiplizieren und Faktorisieren
- Was passiert beim Ausmultiplizieren einer Klammer?
- Wozu klammert man wieder aus?
Zum Ausprobieren: Flächenmodell Algebra
Zerlegen Sie das Rechteck mit Variablen und vergleichen Sie mit der binomischen Formel.
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Simulation von PhET Interactive Simulations, University of Colorado Boulder, lizenziert unter CC BY 4.0 (https://phet.colorado.edu)
Faktorisieren
Beim Faktorisieren wird ein Term, der zunächst eine Summe oder Differenz ist, in ein Produkt verwandelt. Er wird dadurch meist kompakter, und es lassen sich manche Eigenschaften, wie z.B. Nullstellen leichter erkennen.
Techniken
Faktorisieren mittels Ausklammern
Die Elemente des Terms werden auf einen gemeinsamen Faktor untersucht. Ist dieser gegeben, kann man ihn mithilfe des Distributivgesetzes vor oder hinter den restlichen Term ziehen (auch ausklammern genannt.)
Beispiele
\(\textcolor{orange}{x}^2+3\textcolor{orange}{x}=\textcolor{orange}{x}\cdot\left(x+3\right)\)
(\(x\) kann ausgeklammert werden.)
\(3a+12b=\textcolor{orange}{3}a+\textcolor{orange}{3}\cdot4b=\textcolor{orange}{3}\cdot (a+4b)\)
(\(3\) kann ausgeklammert werden.)
\(5\textcolor{orange}{x}-3\textcolor{orange}{x}=\textcolor{orange}{x}\cdot(5-3)=2\textcolor{orange}{x}\)
(\(x\) kann ausgeklammert werden.)
Faktorisieren mithilfe von binomischen Formeln
Jede der binomischen Formeln ist die Umwandlung eines Produkts in eine Summe oder Differenz. Umgekehrt kann auch die Summen- oder Differenzform einer binomischen Formel zu dem Produkt umgeformt werden.
Beispiele
\(x^2+2x+1=(x+1)^2\)
(Wende die erste binomische Formel an.)
\(4-4a+a^2=(2-a)^2\)
(Wende die zweite binomische Formel an.)
\(4-z^2=(2-z)(2+z)\)
(Wende die dritte binomische Formel an.)
Anwendung Linearfaktorzerlegung (fortgeschritten)
Man kann Polynome faktorisieren, indem man sie in ihre Linearfaktordarstellung bringt. Dazu braucht man die Nullstellen. Dieses Verfahren kennt man als Linearfaktorzerlegung.
Erklärung von Serlo Education e. V., lizenziert unter CC BY-SA 4.0 – Original bei Serlo, CC BY-SA 4.0, übernommen am 2026-09-03.
Schlau Fassung
Ausmultiplizieren und Faktorisieren
- Ausmultiplizieren löst eine Klammer auf: Jeder Summand in der Klammer wird mit dem Faktor multipliziert. \(3(x+4) = 3x+12\).
- Bei zwei Klammern wird jeder Summand mit jedem multipliziert: \((x+2)(x+5) = x^2+5x+2x+10 = x^2+7x+10\).
- Faktorisieren ist der Rückweg: den gemeinsamen Faktor ausklammern. \(6x+9 = 3(2x+3)\).
- Wozu? Ein faktorisierter Term verrät seine Nullstellen sofort: Aus \(x(x-5) = 0\) folgt \(x = 0\) oder \(x = 5\), weil ein Produkt genau dann null ist, wenn ein Faktor null ist.
- Die binomischen Formeln sind Sonderfälle, die man in beide Richtungen erkennen sollte: \(x^2-9 = (x+3)(x-3)\).
- Vorzeichenfalle: \(-2(x-3) = -2x+6\) – auch das Minus wird multipliziert.
Aufgaben
- Multipliziere aus: (a) \(4(2x-5)\) (b) \(-3(a+7)\) (c) \((x+3)(x-2)\).
Lösung
(a) \(8x-20\) · (b) \(-3a-21\) · (c) \(x^2+x-6\). - Klammere aus: (a) \(12x+18\) (b) \(5a^2-15a\).
Lösung
(a) \(6(2x+3)\) · (b) \(5a(a-3)\). - Löse durch Ausklammern: \(x^2-7x = 0\).
Lösung
\(x(x-7) = 0\) → \(x = 0\) oder \(x = 7\).
Weiterführende Aufgaben
- Zeige mit einem Flächenbild (Rechteck aus vier Teilflächen), warum \((a+b)(c+d) = ac+ad+bc+bd\) gilt.