Lineare Gleichungssysteme

Lineare Gleichungen sind Gleichungen, bei denen die Variable (meist \(x\)) nur in der \(1\). Potenz vorkommt.

In diesem Artikel lernst du verschiedene Eigenschaften solcher Gleichungen kennen.

Eine lineare Gleichung kann ganz unterschiedliche Gestalten haben, typische Beispiele sind:

• \(3\cdot x=12\)
• \(-x=2\)
• \((x-2)\cdot3=5-(x-13)\)      

Als Variable muss jedoch nicht \(x\) gewählt werden, möglich ist jeder beliebige Buchstabe:

• \(3\cdot A=12\)
• \(3\cdot b+5=12\)

Lineare Gleichungen mit einer Variablen können keine, eine oder unendlich viele Lösungen haben. Gibt es Lösungen, nennt man die Gleichung lösbar. Gibt es genau eine Lösung, nennt man sie eindeutig lösbar.

• \(3\cdot b+5=12\)

Es gibt auch lineare Gleichungen mit mehr als einer Variablen:

• \(3\cdot x+2\cdot y=7\)
• \(-x=2\cdot y\)

Die Lösungen einer linearen Gleichung mit zwei Variablen können ebenfalls keine, eine oder unendlich viele Lösungen haben. Die Lösungen sind jedoch in diesem Fall Paare.

• \(-x=2\cdot y\)

Es gibt außerdem lineare Gleichungen mit einer Variablen und Parametern. Parameter sind unbekannte Zahlen, die auch mit einem Buchstaben dargestellt werden. Man muss bei solchen Gleichungen festlegen bzw. wissen, was die Variable ist und was ein Parameter:

• \(a\cdot x=4\) → eine Variable \(x\), ein Parameter \(a\)
• \(a\cdot x+b\cdot y=c\) → zwei Variablen \(x\) und y, drei Parameter \(a\), \(b\) und \(c\)

Viele Gleichungen, die zunächst nicht als lineare Gleichungen identifiziert werden können, kann man durch Umformungen auf lineare Gleichungen zurückführen:

• \(x\cdot(x+4)=x^2+8\) der quadratische Term \(x^2\) fällt beim Umformen weg