Funktionsgleichung aufstellen
Funktionen
Klasse 9
- Wie kommt man von zwei Punkten zur Gleichung?
- Wie stellt man aus einer Sachsituation eine Funktion auf?
Zum Ausprobieren: Geraden ziehen
Ziehen Sie an der Geraden und beobachten Sie, wie sich die Gleichung mitverändert.
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Simulation von PhET Interactive Simulations, University of Colorado Boulder, lizenziert unter CC BY 4.0 (https://phet.colorado.edu)
Schlau Fassung
Die Gleichung aufstellen
- Aus zwei Punkten: zuerst \(m = \frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}\) berechnen, dann einen Punkt in \(y = mx+b\) einsetzen und nach \(b\) auflösen.
- Beispiel: \(A(1|3)\), \(B(5|11)\) → \(m = 2\); einsetzen: \(3 = 2\cdot 1+b\) → \(b = 1\); also \(y = 2x+1\).
- Aus einem Text: Der feste Anteil ist \(b\) (Grundgebühr, Startwert, Anfangsbestand), der Anteil je Einheit ist \(m\).
- Aus einer Tabelle: Prüfen, ob bei gleichen \(x\)-Schritten immer derselbe \(y\)-Schritt entsteht. Nur dann ist der Zusammenhang linear.
- Aus Messdaten: Selten liegen alle Punkte genau auf einer Geraden. Dann legt man eine Ausgleichsgerade möglichst gut hindurch – das ist der Normalfall in Physik und Technik.
- Zum Schluss immer prüfen: Setzt man die gegebenen Punkte ein, muss die Gleichung stimmen.
Aufgaben
- Stelle die Gleichung auf durch \(P(2|7)\) und \(Q(6|19)\).
Lösung
\(m = 3\); \(7 = 6+b\) → \(b = 1\); \(y = 3x+1\). - Ein Wassertank enthält 200 l und wird mit 15 l/min gefüllt. Funktionsgleichung?
Lösung
\(y = 15x+200\). - Tabelle: 0 → 4, 2 → 10, 4 → 16. Linear? Gleichung?
Lösung
Ja, je 2 Schritte wächst \(y\) um 6, also \(m = 3\), \(b = 4\): \(y = 3x+4\).
Weiterführende Aufgaben
- Miss beim Befüllen eines Eimers alle 10 Sekunden die Höhe des Wassers und bestimme eine passende Funktionsgleichung.