Folgen und ihr Grenzwert

Folgen und ihr Grenzwert

• Eine Folge ist eine geordnete Liste von Zahlen: \(a_1, a_2, a_3, \dots\) Die Vorschrift heißt Bildungsgesetz, zum Beispiel \(a_n = \dfrac{1}{n}\).
• Konvergent heißt: Die Glieder nähern sich einer festen Zahl, dem Grenzwert. \(\dfrac{1}{n}\) liefert 1; 0,5; 0,333; 0,25; … und nähert sich der Null. Man schreibt \(\lim\limits_{n\to\infty}\dfrac{1}{n} = 0\).
• Nie erreicht, trotzdem Grenzwert. Der Grenzwert ist kein Glied der Folge, sondern die Zahl, der man beliebig nahe kommt: Zu jeder noch so kleinen Schranke gibt es ein \(n\), ab dem alle Glieder darunter liegen.
• Divergent heißt: kein Grenzwert. Entweder wachsen die Glieder über alle Grenzen (\(a_n = n^2\)) oder sie springen dauerhaft hin und her (\(a_n = (-1)^n\)).
• Praktisches Handwerkszeug: Bei einem Bruch aus Polynomen teilt man Zähler und Nenner durch die höchste vorkommende Potenz. \(\dfrac{2n+1}{n} = 2 + \dfrac{1}{n} \to 2\).

1. Bestimme den Grenzwert von \(a_n = \dfrac{3n+2}{n}\).
   Lösung

   \(3 + \dfrac{2}{n} \to 3\).
2. Ist \(a_n = (-1)^n\) konvergent?
   Lösung

   Nein – die Glieder wechseln dauerhaft zwischen \(-1\) und \(1\).
3. Erkläre, warum \(\frac{1}{n}\) nie null wird, der Grenzwert aber null ist.
   Lösung

   Für jedes endliche \(n\) ist der Wert positiv; man kommt der Null aber beliebig nahe, und genau das ist der Grenzwertbegriff.

1. Berechnet die ersten zwanzig Glieder von \(a_n = \left(1+\frac{1}{n}\right)^n\) in einer Tabellenkalkulation. Welcher Zahl nähert sich die Folge?