Verhalten im Unendlichen

Verhalten im Unendlichen

• Die Frage lautet: Wie verhält sich \(f(x)\), wenn \(x\) sehr groß oder sehr klein wird? Geschrieben als \(\lim\limits_{x\to\infty} f(x)\) und \(\lim\limits_{x\to-\infty} f(x)\).
• Bei Polynomen entscheidet der höchste Summand. Alles andere fällt gegenüber ihm nicht ins Gewicht. Bei \(f(x) = x^3 - 100x\) gewinnt \(x^3\), auch wenn \(100x\) für kleine \(x\) größer ist.
• Die Regel für Polynome: Gerader Grad – beide Seiten laufen in dieselbe Richtung. Ungerader Grad – die Seiten laufen in entgegengesetzte Richtungen. Ein negativer Leitkoeffizient spiegelt das Bild.
• Bei gebrochenrationalen Funktionen zählen die Grade: Zählergrad kleiner als Nennergrad → Grenzwert 0. Gleich → Verhältnis der Leitkoeffizienten. Zählergrad größer → kein endlicher Grenzwert.
• Waagerechte Asymptote: Existiert ein endlicher Grenzwert, nähert sich der Graph dieser waagerechten Geraden beliebig an, ohne sie notwendig zu erreichen.

1. Bestimme \(\lim\limits_{x\to\infty}\dfrac{2x^2+1}{x^2-3}\).
   Lösung

   Gleiche Grade, Verhältnis der Leitkoeffizienten: 2.
2. Wie verhält sich \(f(x) = -x^3\) für \(x\to\infty\) und \(x\to-\infty\)?
   Lösung

   Für \(x\to\infty\) gegen \(-\infty\), für \(x\to-\infty\) gegen \(+\infty\).
3. Bestimme \(\lim\limits_{x\to\infty}\dfrac{5}{x^2}\).
   Lösung

   0 – der Nennergrad ist größer.

1. Zeichnet drei gebrochenrationale Funktionen mit unterschiedlichen Gradverhältnissen und markiert jeweils die waagerechte Asymptote.