Gleichungssysteme
Arithmetik & Algebra
Klasse 8, 9, 10
- Warum braucht man für zwei Unbekannte zwei Gleichungen?
- Welches Lösungsverfahren passt wann?
- Was bedeutet es, wenn es keine Lösung gibt?
Themen in diesem Bereich
Schlau Fassung
Lineare Gleichungssysteme
- Eine Gleichung mit zwei Unbekannten hat unendlich viele Lösungen – jedes Zahlenpaar auf einer Geraden. Erst eine zweite Gleichung grenzt sie auf einen Punkt ein. Als Regel: so viele Gleichungen wie Unbekannte.
- Die geometrische Deutung ist der Schlüssel: Jede Gleichung ist eine Gerade. Die Lösung ist ihr Schnittpunkt.
- Drei Fälle, und alle drei kommen vor: Die Geraden schneiden sich → genau eine Lösung. Sie sind parallel → keine Lösung. Sie liegen aufeinander → unendlich viele.
- Drei Verfahren, ein Ziel – eine Unbekannte loswerden: Gleichsetzen (beide Gleichungen nach derselben Variablen auflösen), Einsetzen (eine auflösen und in die andere einsetzen), Addieren (die Gleichungen so verrechnen, dass sich eine Variable aufhebt).
- Woran man das Verfahren erkennt: Steht schon eine Gleichung nach y aufgelöst da, nimmt man Einsetzen. Stehen beide in der Form ax + by = c, ist Addieren am schnellsten.
- Die Probe ist Pflicht: Das gefundene Paar muss beide Gleichungen erfüllen – eine allein genügt nicht.
Aufgaben
- Wie viele Gleichungen braucht man für drei Unbekannte?
Lösung
Drei. - Was bedeutet „keine Lösung“ geometrisch?
Lösung
Die Geraden sind parallel und schneiden sich nicht. - Löse: \(x + y = 10\) und \(x - y = 2\).
Lösung
Addieren: \(2x = 12\), also \(x = 6\) und \(y = 4\).
Weiterführende Aufgaben
- Formuliert eine Sachaufgabe (zwei Preise, zwei Angaben) als Gleichungssystem und löst sie mit zwei verschiedenen Verfahren.