Wie viele Lösungen hat ein System?

Es ist mithilfe der Matrixdarstellung möglich, zu bestimmen, wie viele Lösungen ein lineares Gleichungssystem hat, ohne es vorher zu lösen.

Lösungsvielfalt

Es gibt drei Möglichkeiten für die Anzahl an Lösungen eines Gleichungssystems:

1. Keine Lösung
2. Unendlich viele Lösungen
3. Genau eine Lösung.

Dies kann man sich an einem Beispiel leicht verdeutlichen, indem man das Gleichungssystem grafisch darstellt:

Geometrische Deutung am Beispiel: 2 Gleichungen mit 2 Unbekannten

Die Lösungesmenge jeder einzelnen Gleichung ist eine Gerade.

Diese beiden Geraden,

• sind echt parallel zueinander, haben also keinen gemeinsamen Punkt \(\to\) keine Lösung,
• liegen aufeinander (sind also gleich) \(\to\) unendlich viele Lösungen,
• oder schneiden sich in einem gemeinsamen Punkt \(\to\) eine Lösung

Beispiele für die drei Möglichkeiten

Parallele Geraden

\(\begin{array}{ccccc}\mathrm{I}& -x&-y&=4\\\mathrm{II}&3x&+3y&=6\end{array} \begin{array}{ccccc}\Rightarrow\mathrm{I}& y&=&-x&-4\\\Rightarrow\mathrm{II}&y&=&-x&+2\end{array}\)

Identische Geraden

\(\begin{array}{ccccc}\mathrm{I}& x&-\frac12y&=\frac32\\\mathrm{II}&-9x&+\frac92y&=-\frac{27}2\end{array} \begin{array}{ccccc}\Rightarrow\mathrm{I}& y&=&2x&-3\\\Rightarrow\mathrm{II}&y&=&2x&-3\end{array}\)

Sich schneidende Geraden

\(\begin{array}{ccccc}\mathrm{I}& x&-y&=3\\\mathrm{II}&9x&+3y&=15\end{array} \begin{array}{ccccc}\Rightarrow\mathrm{I}& y&=&x&-3\\\Rightarrow\mathrm{II}&y&=&-3x&+5\end{array}\)

Lösbarkeit mit der Matrixdarstellung bestimmen

Im Folgenden betrachten wir quadratische Matrizen. Sie beschreiben lineare Gleichungssysteme, mit genau so vielen Gleichungen wie Variablen.

Vorgehensweise

Die Vorgehensweise wird hier an einem Gleichungssystem mit zwei Gleichungen beschrieben. Sie ist jedoch auch für Gleichungssysteme mit drei und mehr Gleichungen gültig.

1. Darstellung als erweiterte Koeffizientenmatrix

$$\begin{array}{ccccc}\mathrm{I}&a_1\cdot x&+&b_1\cdot y&=d_1\\\mathrm{II}&a_2\cdot x&+&b_2\cdot y&=d_2\end{array}\quad\to\quad\left(\begin{array}{cc|c}a_1&b_1&d_1\\a_2&b_2&d_2\end{array}\right)$$

2. Auf Zeilenstufenform bringen

Die erweiterte Koeffizientenmatrix auf Zeilenstufenform bringen heißt, dass der Koeffizient \(a_2\) eliminiert wird, zum Beispiel mithilfe des Gaußverfahrens.

$$\begin{array}{ccccc}\mathrm{I}&a_1\cdot x&+&b_1\cdot y&=d_1\\\mathrm{II}&a_2\cdot x&+&b_2\cdot y&=d_2\end{array}\quad\to\quad\left(\begin{array}{cc|c}a_1&b_1&d_1\\0&\tilde{b_2}&\tilde{d_2}\end{array}\right)$$

Um zu kennzeichnen, dass sich die Werte in der zweiten Zeile verändern, wenn die Matrix umformt wird, werden die neuen Koeffizienten mit Schlangen gekennzeichnet.

Die letzte Zeile der umgeformten Matrix gibt Auskunft über die Lösbarkeit des Gleichungssystems und über die gegenseitige Lage der beiden Geraden

1. Beispiel für ein unlösbares LGS (parallele Geraden)

Gegeben ist das LGS:

$$\begin{array}{ccccc}\mathrm{I}&2\cdot x&-&1\cdot y&=&-2\\\mathrm{II}&-4\cdot x&+&2\cdot y&=&6\end{array}\quad\to\quad\left(\begin{array}{cc|c}2&-1&-2\\-4&2&6\end{array}\right)$$

Addiere zur 2. Zeile das Doppelte der 1. Zeile.

$$\left(\begin{array}{cc|c}2&-1&-2\\-4&2&6\end{array}\right)\xrightarrow{\mathrm{II}+2\cdot\mathrm{I}}\left(\begin{array}{cc|c}2&-3&-2\\0&0&2\end{array}\right)$$

Die letzte Zeile bedeutet ausgeschrieben:

$$0\cdot x+0\cdot y=2$$

Diese Gleichung besagt, dass das LGS unlösbar ist, denn diese Gleichung ist für kein Paar \((x|y)\) erfüllt.

2. Beispiel für ein LGS mit unendlich vielen Lösungen (identische Geraden)

Gegeben ist das LGS:

$$\begin{array}{ccccc}\mathrm{I}&2\cdot x&-&1\cdot y&=&-2\\\mathrm{II}&-4\cdot x&+&2\cdot y&=&4\end{array}\quad\to\quad\left(\begin{array}{cc|c}2&-1&-2\\-4&2&4\end{array}\right)$$

Addiere zur 2. Zeile das Doppelte der 1. Zeile.

$$\left(\begin{array}{cc|c}2&-1&-2\\-4&2&4\end{array}\right)\xrightarrow{\mathrm{II}+2\cdot\mathrm{I}}\left(\begin{array}{cc|c}2&-3&-2\\0&0&0\end{array}\right)$$

Die letzte Zeile lautet ausgeschrieben:

$$0\cdot x+0\cdot y=0$$

Diese Gleichung besagt, dass das LGS unendlich viele Lösungen hat, denn diese Gleichung ist für alle Paare \((x|y)\) erfüllt.

3. Beispiel für ein LGS mit genau einer Lösung (sich schneidende Geraden)

Gegeben ist das LGS:

$$\begin{array}{ccccc}\mathrm{I}&2\cdot x&-&1\cdot y&=&-2\\\mathrm{II}&4\cdot x&-&1\cdot y&=&-3\end{array}\quad\to\quad\left(\begin{array}{cc|c}2&-1&-2\\4&-1&-3\end{array}\right)$$

Subtrahierte von der 2. Zeile das Doppelte der 1. Zeile.

$$\left(\begin{array}{cc|c}2&-1&-2\\4&-1&-3\end{array}\right)\xrightarrow{\mathrm{II}-2\cdot\mathrm{I}}\left(\begin{array}{cc|c}2&-1&-2\\0&1&1\end{array}\right)$$

Die letzte Zeile lautet ausgeschrieben:

$$0\cdot x+1\cdot y=1\;\Rightarrow\;y=1$$

Setze \(y=1\) in eine der beiden Gleichungen ein:

$$\mathrm{I}\; \;\;2\cdot x-1\cdot 1=-2\;\Rightarrow x=-\frac{1}{2}$$

Das LGS hat die Lösung \(\mathbb{L}=\{(-\frac{1}{2}|1)\}\)

Im folgenden Spoiler ist die Vorgehensweise für ein lineares Gleichungssystem mit drei Gleichungen beschrieben.