Das Einsetzungsverfahren
- Wann lohnt sich das Einsetzen?
- Worauf muss man beim Einsetzen achten?
Einsetzungsverfahren
Das Einsetzungsverfahren ist eine Methode zum Lösen von linearen Gleichungssystemen. Ist eine der Gleichungen nach einer Variablen \(x\) aufgelöst, setzt man den Term auf der anderen Seite bei allen anderen Gleichungen für \(x\) ein. Dadurch verringert sich sowohl die Anzahl der Variablen als auch der Gleichungen um eins.
Vorgehen
Um ein Gleichungssystem mit dem Einsetzungsverfahren zu lösen, sollte man die Gleichung heraussuchen, bei der man am leichtesten nach einer Unbekannten auflösen kann. Am besten möglich ist das, wenn eine Unbekannte allein steht, also mit Koeffizient 1.
Nach dieser Unbekannten wird aufgelöst und sie wird in den übrigen Gleichungen eingesetzt bzw. ersetzt.
Beispiel
\(\begin{array}{cccccccc}\mathrm{I}&a&+&\frac12b&-&10c&=&5\\\mathrm{II}&2a&-&b&\;&\;&=&6\\\mathrm{III}&-2a&+&4b&-&5c&=&-12\end{array}\)
Hier bieten sich das \(b\) in der Gleichung \(\mathrm{II}\) oder auch das \(a\) in Gleichung \(\mathrm{II}\) an. In diesem Beispiel wurde die Variable \(b\) ausgewählt:
\(\begin{array}{rrcllcccccc} \mathrm{II}&2a-b&=&6&&|+b\\ &2a&=&6+b&&\vert-6\\ &2a-6&=&b&&& \end{array}\)
Nun kann man \(b=2a-6\) zum Beispiel in der Gleichung \(\mathrm{I}\) ersetzen und dann möglichst weit vereinfachen:
\(\begin{array}{rrcccccccc}\mathrm{I'}&a+\frac12\left(2a-6\right)-10c&=&5&&\\&a+a-3-10c&=&5&&\\&2a-3-10c&=&5&&\vert+3\\&2a-10c&=&8&&\end{array}\)
Nun kann man diese Gleichung nach \(c\) auflösen und dann in der Gleichung \(\mathrm{III}\) sowohl \(b\) als auch \(c\) ersetzen, um die Unbekannte \(a\) herauszufinden.
\(\begin{array}{rrcllccccccc}\mathrm{I'}&2a-10c&=&8&\vert+10c\\&2a&=&8+10c&\vert-8\\&2a-8&=&10c&\vert:10\\&\frac15a-\frac45&=&c\end{array}\)
Jetzt weiß man also:
\(b=2a-6\)
\(c=\frac15a-\frac45\)
In \(\mathrm{III}\) eingesetzt liefert das:
\(\begin{array}{ccccccccc}\mathrm{III'}&-2a+4\left(2a-6\right)-5\left(\frac15a-\frac45\right)&=&-12\\&-2a+8a-24-a+4&=&-12\\&5a-20&=&-12&\vert+20\\&5a&=&8&\vert:5\\&a&=&\frac85\end{array}\)
Jetzt, da man \(a\) errechnet hat, kann man auch die übrigen Größen berechnen:
\(\begin{array}{l}{1}a=\frac85=1,6\end{array}\)
\(\begin{array}{l}b=2\cdot\left(\frac85\right)-6=\frac{16}5-6=-2\frac45=-2,8\\\end{array}\)
\(c=\frac15\cdot\left(\frac85\right)-\frac45=\frac8{25}-\frac45=-\frac{12}{25}=-0,48\)
Erklärung von Serlo Education e. V., lizenziert unter CC BY-SA 4.0 – Original bei Serlo, CC BY-SA 4.0, übernommen am 2026-09-03.
Schlau Fassung
Das Einsetzungsverfahren
- Der Gedanke: Eine Gleichung nach einer Variablen auflösen und diesen Ausdruck in die andere Gleichung einsetzen. Dort steht dann nur noch eine Unbekannte.
- Beispiel: \(x = y + 3\) und \(2x + y = 12\). Einsetzen: \(2(y+3) + y = 12\) → \(3y + 6 = 12\) → \(y = 2\), also \(x = 5\).
- ⛔ Die Klammer ist Pflicht. \(2 \cdot (y+3)\) ist nicht \(2y + 3\). Wer sie weglässt, rechnet ab hier alles falsch – das ist der häufigste Fehler in diesem Verfahren.
- Am besten geeignet, wenn eine Variable schon allein steht oder den Koeffizienten 1 hat – dann entstehen keine Brüche.
- Immer in die ANDERE Gleichung einsetzen. Setzt man in dieselbe ein, kommt eine wahre, aber nutzlose Aussage heraus (0 = 0).
Aufgaben
- Löse: \(y = x - 1\) und \(3x + 2y = 8\).
Lösung
\(3x + 2(x-1) = 8\) → \(5x = 10\) → \(x = 2\), \(y = 1\). - Warum braucht man die Klammer?
Lösung
Der Faktor gilt für den ganzen eingesetzten Ausdruck, nicht nur für den ersten Summanden. - Was passiert beim Einsetzen in dieselbe Gleichung?
Lösung
Es entsteht eine wahre, aber nutzlose Aussage wie 0 = 0.
Weiterführende Aufgaben
- Löst dasselbe System einmal mit Einsetzen und einmal mit Gleichsetzen. Welcher Weg war kürzer – und warum?