Die Ableitung als Steigung
- Was beschreibt \(f'(x)\) anschaulich?
- Wie liest man aus dem Graphen von \(f'\) etwas über \(f\) ab?
Zum Ausprobieren: Ableitung und Integral
Zeichnen Sie eine Funktion und beobachten Sie gleichzeitig Ableitung und Integral.
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Simulation von PhET Interactive Simulations, University of Colorado Boulder, lizenziert unter CC BY 4.0 (https://phet.colorado.edu)
Quotientenregel
Die Quotientenregel bietet eine Möglichkeit, die Ableitung eines Quotienten zweier differenzierbarer Funktionen \(u\left(x\right)\) und \(v\left(x\right)\) zu berechnen:
Video zur Quotientenregel
1. Merkregel "NAZ minus ZAN"
Als Merkregel für den Zähler lässt sich die Kurzform "NAZ minus ZAN" für
"Nenner ("N") mal Ableitung des Zählers ("AZ") minus Zähler ("Z") mal Ableitung des Nenners ("AN"))" benutzen.
2. Merkregel "AZN minus ANZ"
Eine weitere Merkregel für den Zähler ist die Kurzform "AZN minus ZAN":
Ableitung des Zählers ("AZ") mal Nenner ("N") minus Ableitung des Nenners ("AN2) mal Zähler ("Z")
Beispiel 1
Mit der Quotientenregel ergibt sich die Ableitung von \(f(x)=\left(\frac{\sin(x)}{x^2}\right)\) als
$$f'(x)=\frac{(\sin(x))'\cdot x^2-(x^2)'\cdot\sin(x)}{\left(x^2\right)^2}=\frac{\cos(x)\cdot x^2-2x\cdot\sin(x)}{x^4}=\frac{x(x\cos(x)-2\sin(x))}{x^4}=\frac{x\cos(x)-2\sin(x)}{x^3}$$
Beispiel 2
Berechne die Ableitung von \(f(x) = \tan(x)\).
Der Tangens ist nach Definition \(\tan(x)=\dfrac{\sin(x)}{\cos(x)}\).
Andererseits kann die Ableitung des Tangens auch angegeben werden als:
Erklärung von Serlo Education e. V., lizenziert unter CC BY-SA 4.0 – Original bei Serlo, CC BY-SA 4.0, übernommen am 2026-09-03.
Schlau Fassung
Die Ableitungsfunktion
- \(f'(x)\) gibt für jede Stelle die Steigung der Tangente an – also wie steil der Graph dort verläuft.
- Zusammenhang: Wo \(f'(x)>0\) ist, steigt \(f\); wo \(f'(x)<0\) ist, fällt \(f\); wo \(f'(x)=0\) ist, verläuft die Tangente waagerecht.
- Ein Vorzeichenwechsel von \(f'\) bedeutet einen Hoch- oder Tiefpunkt von \(f\): von \(+\) nach \(-\) ein Hochpunkt, von \(-\) nach \(+\) ein Tiefpunkt.
- Die zweite Ableitung \(f''\) beschreibt die Änderung der Steigung, also die Krümmung: \(f''>0\) linksgekrümmt, \(f''<0\) rechtsgekrümmt.
- Nicht jede Nullstelle von \(f'\) ist ein Extremum: Bei \(f(x)=x^3\) ist \(f'(0)=0\), der Graph steigt aber weiter – ein Sattelpunkt.
- Wer die Graphen von \(f\) und \(f'\) untereinander zeichnet, sieht den Zusammenhang unmittelbar.
Aufgaben
- Der Graph von \(f'\) ist im Bereich \(x<2\) positiv und danach negativ. Was folgt für \(f\)?
Lösung
\(f\) steigt bis \(x=2\) und fällt danach – bei \(x=2\) liegt ein Hochpunkt. - Für \(f(x)=x^2-4x\): Wo ist \(f'(x)=0\)?
Lösung
\(f'(x)=2x-4=0\) → \(x=2\) (Tiefpunkt). - Warum ist \(f(x)=x^3\) bei \(x=0\) kein Extremum?
Lösung
\(f'(x)=3x^2\) ist links und rechts von 0 positiv – kein Vorzeichenwechsel.
Weiterführende Aufgaben
- Zeichne zu einer selbst gewählten Funktion die Graphen von \(f\), \(f'\) und \(f''\) untereinander und markiere die Zusammenhänge.