Extremwertaufgaben

Funktionen Klasse 12

Wie kommt man von einer Sachaufgabe zu einer Funktion mit einer Variablen?
Warum muss man am Ende die Ränder prüfen?

Extremwertaufgabe

Eine Extremwertaufgabe ist eine Problem- oder Fragestellung, bei der etwas unter einer bestimmten Bedingung maximiert, oder minimiert werden soll.

Typische Fragestellungen

Forme aus einem $20\,\mathrm{cm}$ langen Draht ein Rechteck mit maximalem Flächeninhalt.
Aus einer Holzplatte von der Form eines halben Quadrats mit Seitenlänge $1\,$m soll ein möglichst großes Rechteck ausgeschnitten werden.
Für welche ganze Zahl ist das Produkt aus Vorgänger und Nachfolger am kleinsten?

Vorgehensweise

1. Zielfunktion:

Formuliere die Funktion die das beschreibt, was zu maximieren ist.

2. Nebenbedingung(en):

Formuliere die Bedingung/en unter der/denen die Funktion maximiert werden soll.

3. Extremalfunktion:

Formuliere die zu maximierende Funktion, indem die Nebenbedingung/en (umgeformt) in die Zielfunktion eingesetzt wird/werden.

Was ist der Definitionsbereich der Zielfunktion?

$\rightarrow$ Welche Werte sind sinnvoll und möglich? Zum Beispiel sind negative Längen unsinnig.

4. Extremwert bestimmen:

Bestimme das Extremum der Funktion. Bei einer Maximierungsaufgabe muss ein Hochpunkt der Funktion gefunden werden, bei einer Minimierung ein Tiefpunkt.

$\Rightarrow$ Ist der Extremwert im Definitionsbereich?

5. Lösung angeben:

Um die komplette Lösung anzugeben, muss noch die Variable bestimmt werden, die vorher beim Einsetzen ersetzt wurde.

Beispiel

Aufgabenstellung:

Forme aus einem $20\,\mathrm{cm}$ langen Draht ein Rechteck mit maximalem Flächeninhalt.

1. Zielfunktion

Der Flächeninhalt eines Rechtecks ist Länge mal Breite. Nenne hier die Länge x und die Breite y:

$E=x\cdot y$

2. Nebenbedingung

Für den Umfang eines Rechtecks gilt: $U=2\cdot(x+y)$.

Nun setzt man die $20\,\mathrm{cm}$ als Bedingung für den Umfang ein und erhält die Nebenbedingung:

$20\,\mathrm{cm}=2\cdot(x+y)$

3. Extremalfunktion

Um die Nebenbedingung in die Zielfunktion einzusetzen, kann man sie nach einer Variablen auflösen.

Man löst hier nach $y$ auf.

$\begin{array}{ccc}\;&20\,\mathrm{cm}=2\cdot(x+y)&\;\left|{\div2}\right.\;\\\Leftrightarrow&10\,\mathrm{cm}=x+y&\;\left|{-x}\right.\;\\\Leftrightarrow&y=10\,\mathrm{cm}-x&\;\end{array}$

Diese umgeformte Nebenbedingung muss nun in die Zielfunktion eingesetzt werden.

$E=x\cdot y$ mit $y=10\,\mathrm{cm}-x$

$\begin{array}{l}\begin{array}{cc}\;&E=x\cdot(10\,\mathrm{cm}-x)\\\Leftrightarrow&E=-x^2+10\,\mathrm{cm}\cdot x\end{array}\\\end{array}$

Der Definitionsbereich der Variablen $x$ ist das Intervall

$$0\,\mathrm{cm}Für $x=0\,\mathrm{cm}$ und für $x=10\,\mathrm{cm}$ ergäbe sich als "entartetes" Rechteck (mit dem Flächeninhalt $0\,\mathrm{cm}^2$) eine Doppelstrecke der Länge $10\,\mathrm{cm}.$

4. Extremwert bestimmen…

Den Extremwert $x=5\,\mathrm{cm}$ kannst du je nach deinen Fertigkeiten und Vorlieben mit unterschiedlichen Wegen bestimmen.

5. Lösung angeben

Bisher weißt du nur, dass die Länge $x$ des maximal großen Drahtrechtecks $5\mathrm{cm}$ betragen muss.

Um die Breite zu bestimmen, setze $x=5\,\mathrm{cm}$ in die Nebenbedingung ein.

$y=10\,\text{cm}-x$

$y=10\,\text{cm}-5\,\text{cm}=5\,\text{cm}$

Wir erhalten also als flächengrößtes Rechteck ein Quadrat mit Seitenlänge $5\,\mathrm{cm}$.

Probe mit dynamischer Geometriesoftware

Verschiebe im nachfolgenden Applet den Gleitpunkt $P$ und kontrolliere das Ergebnis.

Hinweis

Meist verzichtet man bei der Lösung anwendungsbezogener Extremwertaufgaben bei der Angabe der Zielfunktion auf Benennungen der verwendeten Größen und begnügt sich mit den Maßzahlen. Dies erleichtert den Umgang mit den Funktionen.

Interaktive Beispiele

Hier gibt es zwei 3D-Beispiele zum interaktiven Erkunden. Einmal wird das Volumen eines Zelts maximiert und einmal der Querschnitt einer Rinne.

Erklärung von Serlo Education e. V., lizenziert unter CC BY-SA 4.0 – Original bei Serlo, CC BY-SA 4.0, übernommen am 2026-09-03.

Schlau Fassung