Änderungsrate und Differenzenquotient

Funktionen Klasse 11

Was ist der Unterschied zwischen mittlerer und momentaner Änderungsrate?
Warum heißt der Differenzenquotient auch Sekantensteigung?

Differenzenquotient

Der Differenzenquotient zwischen zwei Stellen $x_1$ und $x_2$ beschreibt die Steigung der Sekanten zwischen den Punkten $P\left(x_1 \mid f(x_1)\right)$ und $Q\left(x_2 \mid f(x_2)\right)$:

$$\frac{f(x_2)-f(x_1)}{x_2-x_1}.$$

Der Differenzenquotient berechnet die mittlere Änderungsrate. Durch Grenzwertbildung erhält man den Differentialquotienten, mit dessen Hilfe man die Ableitung (= lokale Änderungsrate) berechnen kann.

Beispiel

Bestimme den Differenzenquotienten der Funktion $f(x)=x^2$ im Intervall $\left[1;3\right]$ $\Rightarrow x_1=1$ und $x_2=3$.

$$m=\frac{f(3)-f(1)}{3-1}=\frac{3^2-1^2}2=\frac{9-1}2=\frac82=4$$

Video zum Differenzenquotienten

Applet

Im folgenden Applet kannst du dir für eine beliebige Funktion $f$ den Differenzenquotienten anschauen und berechnen lassen. Außerdem kannst du die Lage der Stellen $x_1$ und $x_2$ frei wählen.

Erklärung von Serlo Education e. V., lizenziert unter CC BY-SA 4.0 – Original bei Serlo, CC BY-SA 4.0, übernommen am 2026-09-03.

Schlau Fassung

Änderungsraten

Die mittlere Änderungsrate zwischen zwei Stellen $a$ und $b$ ist $\frac{f(b)-f(a)}{b-a}$. Sie beantwortet Fragen wie „Wie schnell im Durchschnitt?“ oder „Wie stark im Mittel gestiegen?“.
Im Bild ist das die Steigung der Sekante – der Geraden durch zwei Punkte des Graphen. Deshalb heißt der Ausdruck auch Sekantensteigung.
Die momentane Änderungsrate gilt an einer Stelle. Man erhält sie, indem man $b$ immer näher an $a$ heranrücken lässt – aus der Sekante wird die Tangente.
Geschrieben wird das als Grenzwert: $f'(a) = \lim\limits_{h\to 0}\frac{f(a+h)-f(a)}{h}$.
In der Sache: Beim Weg-Zeit-Zusammenhang ist die mittlere Änderungsrate die Durchschnittsgeschwindigkeit, die momentane der Tachostand.
Die Einheit der Änderungsrate ergibt sich aus dem Zusammenhang: $\frac{\text{Einheit von } y}{\text{Einheit von } x}$.

Aufgaben

Berechne die mittlere Änderungsrate von $f(x)=x^2$ zwischen 1 und 4.
Lösung
$\frac{16-1}{3} = 5$.
Ein Auto fährt in 2,5 Stunden 180 km. Wie groß ist die Durchschnittsgeschwindigkeit? Sagt sie etwas über das Tempo an einer bestimmten Stelle?
Lösung
$72\,\mathrm{km/h}$; nein – zwischendurch kann es schneller und langsamer gewesen sein.
Bestimme $f'(2)$ für $f(x)=x^2$ über den Grenzwert.
Lösung
$\frac{(2+h)^2-4}{h} = 4+h \to 4$.

Weiterführende Aufgaben

Nimm eine Wetterkurve und bestimme die mittlere Temperaturänderung je Stunde am Vormittag und am Nachmittag.