Kurvenuntersuchung

Funktionen Klasse 12

In welcher Reihenfolge untersucht man eine Funktion?
Wie unterscheidet man Hoch-, Tief- und Sattelpunkt?

Kettenregel

Die Kettenregel bildet eine Möglichkeit, die Ableitung der Verkettung zweier differenzierbarer Funktionen $u$ und $v$ auszurechnen:

$$\left(u(v(x))\right)'=u'(v(x))\cdot v'(x)$$

Das Multiplizieren mit $v'(x)$ heißt auch Nachdifferenzieren.

Um die Ableitung der Verkettung von $u$ und $v$ zu berechnen, setzt man also $v\left(x\right)$ in die Ableitung $u'$ ein und differenziert nach.

Einfach gesagt: "Äußere Ableitung mal innere Ableitung":

$$\left(u(v(x))\right)'=\underbrace{u'(v(x))}_{\text{äußere Ableitung}}\cdot \underbrace{v'(x)}_{\text{innere Ableitung}}$$

Zerlegung der Funktion in innere und äußere Funktionen

Betrachten wir als Beispiel die verkettete Funktion $f$ mit $f\left(x\right)=\left(x+1\right)^2$. Wir möchten sie mit der Kettenregel ableiten. Dazu muss $f$ zunächst in die beiden Teilfunktionen $u$ und $v$ zerlegt werden.

Diese Zerlegung veranschaulichen wir, indem wir $u$ als "$\textcolor{cc0000}{\text{äußere Funktion}}$" und $v$ als "$\textcolor{0099cc}{\text{innere Funktion}}$" betrachten. Im Beispiel ist die innere Funktion $\textcolor{0099cc}{v\left(x\right)=x+1}$. Die äußere Funktion ist die Quadratfunktion, also $\textcolor{cc0000}{u\left(v\right)=v^2}$.

Setzen wir den inneren Funktionsterm von $\textcolor{0099cc}{v\left(x\right)}$ in den äußeren Funktionsterm von $\textcolor{cc0000}{u}$ ein, erhalten wir die Verkettung der beiden Funktionen: $f(x)=\textcolor{cc0000}{u(}\textcolor{0099cc}{v\left(x\right)}\textcolor{cc0000}{)}$,

Das führt wie gewünscht zur Ausgangsfunktion $f\left(x\right)=\textcolor{cc0000}{(}\textcolor{0099cc}{x+1}\textcolor{cc0000}{)^2}$.

Mit der nachfolgenden Animation kannst du dir die (punktweise) Entstehung des Schaubildes einer verketteten Funktion aus den Schaubildern der inneren und äußeren Funktionen mit verschiedenen Beispielen veranschaulichen.

Video zur Kettenregel

Beispiele zur Kettenregel

Anwendung der Kettenregel am Beispiel

Berechne die Ableitung der Funktion $f\left(x\right)=\sin(x^4+2x^2)$.

Zunächst zerlegt man $f$ in $u$ und $v$ mit $f(x) = \color{cc0000}{u(}\color{0099cc}{v(x)}\color{cc0000}{)}$.

$$f\left(x\right)=\color{cc0000}{\sin(}\color{0099cc}{x^4+2x^2}\color{cc0000}{)}$$

$$\color{cc0000}{u(x)=\sin(x)}$$

$$\color{0099cc}{v(x)=x^4+2x^2}$$

Dann berechnet man die Ableitungen von $u$ und $v$ …

$$\color{cc0000}{u'\left(x\right)=\cos\left(x\right)}$$

$$\color{0099cc}{v'\left(x\right)=4x^3+4x}$$

… und setzt $v(x)$ in $u'$ ein.

$$\color{cc0000}{u'(}\color{0099cc}{v(x)}\color{cc0000}{)}=\color{cc0000}{\cos}(\color{0099cc}{x^4+2x^2}\color{cc0000}{)}$$

Zuletzt muss man noch nachdifferenzieren und erhält insgesamt die Ableitung von $f$.

$$\begin{array}{rclll}f'(x) &=& \color{cc0000}{u'(}\color{0099cc}{v(x)}\color{cc0000}{)} &\cdot& \color{0099cc}{v'(x)} \\&=& \color{cc0000}{\cos}(\color{0099cc}{x^4+2x^2}\color{cc0000}{)} &\cdot& \color{0099cc}{(4x^3 + 4x)}\end{array}$$

Erklärung von Serlo Education e. V., lizenziert unter CC BY-SA 4.0 – Original bei Serlo, CC BY-SA 4.0, übernommen am 2026-09-03.

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