Ableitungsregeln

Die Ableitungsregeln

• Potenzregel: \((x^n)' = n\cdot x^{n-1}\). Damit ist \((x^3)' = 3x^2\) und \((x)' = 1\).
• Faktorregel: Ein konstanter Faktor bleibt stehen: \((c\cdot f)' = c\cdot f'\). Summenregel: gliedweise ableiten.
• Die Ableitung einer Konstanten ist null – eine waagerechte Gerade hat keine Steigung.
• Produktregel: \((u\cdot v)' = u'v+uv'\). Quotientenregel: \(\left(\frac{u}{v}\right)' = \frac{u'v-uv'}{v^2}\).
• Kettenregel: \((u(v(x)))' = u'(v)\cdot v'\) – „äußere mal innere Ableitung“. Nötig, sobald in einer Klammer oder unter einer Wurzel mehr steht als nur \(x\).
• Wichtige Ableitungen: \((\mathrm{e}^x)' = \mathrm{e}^x\), \((\ln x)' = \frac{1}{x}\), \((\sin x)' = \cos x\), \((\cos x)' = -\sin x\).

1. Leite ab: (a) \(f(x)=5x^3-2x+7\) (b) \(f(x)=\sqrt{x}\).
   Lösung

   (a) \(15x^2-2\) · (b) \(\frac{1}{2\sqrt{x}}\).
2. Leite ab: \(f(x)=(3x+1)^4\).
   Lösung

   Kettenregel: \(4(3x+1)^3\cdot 3 = 12(3x+1)^3\).
3. Leite ab: \(f(x)=x^2\cdot\mathrm{e}^x\).
   Lösung

   Produktregel: \(2x\mathrm{e}^x+x^2\mathrm{e}^x = \mathrm{e}^x(2x+x^2)\).

1. Erstelle eine Übersichtskarte mit allen Regeln und je einem Beispiel. Markiere, woran du erkennst, welche Regel dran ist.