Vektoren im Koordinatensystem
- Was ist der Unterschied zwischen Punkt und Vektor?
- Wie bestimmt man den Vektor zwischen zwei Punkten?
Zum Ausprobieren: Vektor-Addition: Gleichungen
Prüfen Sie eine Vektorgleichung, indem Sie die Vektoren verschieben.
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Simulation von PhET Interactive Simulations, University of Colorado Boulder, lizenziert unter CC BY 4.0 (https://phet.colorado.edu)
Vektor zwischen zwei Punkten berechnen
Um den Verbindungsvektor zwischen zwei Punkten A und B zu berechnen, muss man den Ortsvektor zu Punkt A vom Ortsvektor zu Punkt B subtrahieren.
Im Zweidimensionalen: \(A\left(a_1|a_2\right),\;B\left(b_1|b_2\right)\)
\(\overrightarrow{{AB}}=\begin{pmatrix}b_1-a_1\\b_2-a_2\end{pmatrix}\)
Im Dreidimensionalen: \(A\left(a_1|a_2|a_3\right),\;B\left(b_1 |b_2|b_3\right)\)
\(\overrightarrow{{AB}}=\begin{pmatrix}b_1-a_1\\b_2-a_2\\b_3-a_3\end{pmatrix}\)
Der Vektor hat also beim Minuend seine Spitze und beim Subtrahend seinen Fuß.
Formel
\(\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{OB}-\overrightarrow{OA}\)
wobei \(O=(0|0|…|0)\) den Ursprung bezeichnet und \(\overrightarrow{OA}\) somit den Vektor vom Ursprung zu dem Punkt \(A\) darstellt.
Erklärung von Serlo Education e. V., lizenziert unter CC BY-SA 4.0 – Original bei Serlo, CC BY-SA 4.0, übernommen am 2026-09-03.
Schlau Fassung
Vektoren im Koordinatensystem
- Ein Punkt bezeichnet einen Ort, ein Vektor eine Verschiebung – mit Betrag und Richtung. Derselbe Vektor kann an beliebiger Stelle angesetzt werden.
- Geschrieben wird er als Spalte oder mit Pfeil: \(\vec{a}\). Der Vektor von \(A\) nach \(B\) heißt \(\vec{AB}\).
- Berechnen: Endpunkt minus Anfangspunkt. Von \(A(1|2|3)\) nach \(B(4|6|3)\) ergibt \((3;4;0)\).
- Der Ortsvektor eines Punktes führt vom Ursprung zu ihm; seine Koordinaten sind die Koordinaten des Punktes.
- Der Betrag \(|\vec{a}| = \sqrt{a_1^2+a_2^2+a_3^2}\) ist die Länge – der Satz des Pythagoras, zweimal angewandt.
- Zwei Vektoren sind gleich, wenn alle Koordinaten übereinstimmen; der Gegenvektor \(-\vec{a}\) zeigt in die entgegengesetzte Richtung.
Aufgaben
- Bestimme \(\vec{AB}\) für \(A(2|-1|4)\) und \(B(5|3|4)\).
Lösung
\((3;4;0)\). - Berechne den Betrag von \((6;-3;2)\).
Lösung
\(\sqrt{36+9+4} = 7\). - Welchen Punkt erreicht man von \(P(1|1|1)\) aus mit dem Vektor \((2;0;-3)\)?
Lösung
\(Q(3|1|-2)\).
Weiterführende Aufgaben
- Beschreibe den Weg von deinem Platz zur Tür als Folge von Vektoren und fasse sie zu einem einzigen zusammen.