Rechnen mit Vektoren
- Wie addiert man zwei Vektoren – rechnerisch und zeichnerisch?
- Was bewirkt die Multiplikation mit einer Zahl?
Zum Ausprobieren: Vektor Addition
Legen Sie zwei Vektoren aneinander und lesen Sie die Summe ab.
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Simulation von PhET Interactive Simulations, University of Colorado Boulder, lizenziert unter CC BY 4.0 (https://phet.colorado.edu)
Einheitsvektor
Ein Einheitsvektor hat die Länge 1. Er entsteht zum Beispiel, indem man einen Vektor beliebiger Länge normiert.
Die einfachsten Einheitsvektoren der Ebene sind \(\begin{pmatrix} 1\\ 0\end{pmatrix}\) und \(\begin{pmatrix} 0\\ 1\end{pmatrix}\).
Zum Knobeln
Die einfachsten Einheitsvektoren des Raums sind \(\begin{pmatrix} 1\\0\\0\end{pmatrix},\begin{pmatrix} 0\\1\\0\end{pmatrix}\) und \(\begin{pmatrix} 0\\0\\1\end{pmatrix}\).
Alle anderen Einheitsvektoren des Raums erhält man, in dem man eine Kugel mit Radius 1 um den Ursprung betrachtet.
Erklärung von Serlo Education e. V., lizenziert unter CC BY-SA 4.0 – Original bei Serlo, CC BY-SA 4.0, übernommen am 2026-09-03.
Schlau Fassung
Rechnen mit Vektoren
- Addition: komponentenweise addieren. Zeichnerisch hängt man den zweiten Pfeil an die Spitze des ersten – die Verbindung vom Anfang zum Ende ist die Summe.
- Subtraktion: \(\vec{a}-\vec{b} = \vec{a}+(-\vec{b})\).
- Multiplikation mit einer Zahl \(r\): Jede Koordinate wird mit \(r\) multipliziert. Der Vektor wird länger (\(|r|>1\)), kürzer (\(|r|<1\)) oder dreht sich um (\(r<0\)) – die Richtung bleibt aber dieselbe Gerade.
- Zwei Vektoren heißen kollinear (parallel), wenn einer ein Vielfaches des anderen ist.
- Nullvektor: \((0;0;0)\) – er hat keine Richtung und entsteht, wenn ein geschlossener Weg zurückgelegt wird.
- Der Mittelpunkt einer Strecke ist \(\frac{1}{2}(\vec{a}+\vec{b})\) – eine der nützlichsten Anwendungen.
Aufgaben
- Berechne \((2;3;-1)+(4;-1;5)\) und \(3\cdot(1;-2;0)\).
Lösung
\((6;2;4)\) und \((3;-6;0)\). - Sind \((2;4;6)\) und \((1;2;3)\) parallel?
Lösung
Ja, der erste ist das Doppelte des zweiten. - Bestimme den Mittelpunkt von \(A(2|4|6)\) und \(B(8|0|2)\).
Lösung
\(M(5|2|4)\).
Weiterführende Aufgaben
- Zeige mit Vektoren, dass sich die Diagonalen eines Parallelogramms halbieren.