Skalarprodukt und Winkel

Das Skalarprodukt ist eine Multiplikation von zwei Vektoren. Sein Ergebnis ist ein Skalar (= eine reelle Zahl), im Gegensatz zum Kreuzprodukt, dessen Ergebnis ein Vektor ist.

Für das Skalarprodukt der Vektoren \(\vec{a}\) und \(\vec{b}\) schreibt man \(\vec{a}\circ\vec{b}\), \(\ \vec{a}\cdot\vec{b}\) oder auch \(\langle \vec a, \vec b\rangle\).

Anmerkung: Um das Skalarprodukt (Vektor mal Vektor) vom skalaren Multiplizieren (Zahl mal Vektor) zu unterscheiden, verwenden wir hier \(\circ\) als Symbol für das Skalarprodukt.

Wichtig: Man kann das Skalarprodukt von zwei Vektoren nur bilden, wenn sie beide gleich viele Komponenten haben.

Definition

Das Skalarprodukt von zwei Vektoren \(\vec{a}\) und \(\vec{b}\) ist definiert als

• ihre komponentenweise Multiplikation und die
• anschließende Addition.

Dies bedeutet:

In der Ebene

$$\vec{a} = \begin{pmatrix} \color{#ff6600}{a_1}\\ \color{#660099}{a_2}\end{pmatrix}, \vec{b} = \begin{pmatrix} \color{#ff6600}{b_1}\\ \color{#660099}{b_2}\end{pmatrix}$$

$$\Rightarrow \vec{a}\circ\vec{b}\;=\;\color{#ff6600}{a_1b_1}+\color{#660099}{a_2b_2}$$

Im Raum

$$\vec{a} = \begin{pmatrix} \color{#ff6600}{a_1}\\ \color{#660099}{a_2}\\ \color{#006400}{a_3}\end{pmatrix}, \vec{b} = \begin{pmatrix} \color{#ff6600}{b_1}\\ \color{#660099}{b_2}\\ \color{#006400}{b_3}\end{pmatrix}$$

$$\Rightarrow \vec{a}\circ\vec{b}\;=\;\color{#ff6600}{a_1b_1}+\color{#660099}{a_2b_2} + \color{#006400}{a_3b_3}$$

In beiden Fällen wird

• die \(\color{#ff6600}{\text{ 1. Komponente}}\) von \(\vec{a}\) mit der \(\color{#ff6600}{\text{ 1. Komponente}}\) von \(\vec{b}\),
• die \(\color{#660099}{\text{ 2. Komponente }}\)von \(\vec{a}\) mit der \(\color{#660099}{\text{ 2. Komponente }}\)von \(\vec{b}\)

und im Raum auch

• die \(\color{#006400}{\text{ 3. Komponente }}\) von \(\vec{a}\) mit der \(\color{#006400}{\text{ 3. Komponente }}\)von \(\vec{b}\)

multipliziert. Diese Produkte werden dann addiert.

Beispiel

Berechne das Skalarprodukt zwischen den beiden Vektoren \(\vec{a}\) und \(\vec b\)!

\(\vec a=\begin{pmatrix}-3\\2\end{pmatrix}\;\;\;\; \vec b=\begin{pmatrix}7\\11\end{pmatrix}\)

Wende die Definition an und du erhältst:

\(\vec a\circ\vec b=\begin{pmatrix}-3\\2\end{pmatrix}\circ\begin{pmatrix}7\\11\end{pmatrix}=-3\cdot7 +2\cdot11 = -21 + 22 = 1\)

Das Skalarprodukt von \(\vec{a}\) und \(\vec{b}\) beträgt somit \(1\).

Verwendung des Skalarproduktes

Senkrechte Vektoren

Zwei Vektoren stehen senkrecht bzw. orthogonal zueinander, genau dann, wenn ihr Skalarprodukt \(0\) ergibt. Du hast also

\(\vec a \perp \vec b \Leftrightarrow \vec a\circ\vec b=0\)

Beispiel

Überprüfe, ob die Vektoren \(\vec{a}\) und \(\vec{b}\) senkrecht aufeinander stehen!

$$\vec {a}=\begin{pmatrix}2 \\ 6 \end{pmatrix},\;\;\;\vec {b}=\begin{pmatrix}3\\-1\end{pmatrix}$$

Berechne das Skalarprodukt der beiden Vektoren:

$$\begin{pmatrix}2\\6\end{pmatrix}\circ\begin{pmatrix}3\\-1\end{pmatrix}=2\cdot3+6\cdot(-1)=0$$

Da ihr Skalarprodukt \(0\) ist, stehen die beiden Vektoren senkrecht aufeinander.

Länge eines Vektors

Die Länge eines Vektors (der Betrag) ist gleich der Wurzel aus dem Skalarprodukt des Vektors mit sich selbst:

In der Ebene

\(\left|\vec{a}\right|=\sqrt{\vec{a}\circ\vec{a}}=\sqrt{a_1^2+a_2^2}\)

Im Raum

\(\left|\vec a\right|=\sqrt{\vec a\circ\vec a}=\sqrt{a_1^2+a_2^2+ a_3^2}\)

Beachte, dass lediglich der Nullvektor die Länge \(0\) hat.

Beispiel

Berechne die Länge des Vektors \(\vec{a}\).

$$\vec{a}=\begin{pmatrix}-3\\4\end{pmatrix}$$

Bestimme zunächst das Skalarprodukt von \(\vec a\) mit sich selbst:

$$\begin{array}{rcl} \vec{a} \circ \vec{a} &=& a_1 \cdot a_1 + a_2 \cdot a_2 \\ &=& (-3)\cdot (-3)+ 4\cdot 4\\ &=& 9+ 16\\ &=& 25 \end{array}$$

Ziehst du nun die Wurzel aus diesem Skalarprodukt, so erhältst du die Länge des Vektors \(\vec a\).

$$\begin{array}{rcl} |\vec a| &=& \sqrt{\vec{a} \circ \vec{a}}\\ &=& \sqrt {25}\\ &=& 5~LE \end{array}$$

Der Vektor \(\vec a\) besitzt also die Länge \(5\).

Winkel zwischen Vektoren

Mit dem Skalarprodukt lässt sich der Winkel ermitteln, den zwei Vektoren miteinander einschließen (vorausgesetzt, keiner von ihnen ist der Nullvektor). Der Winkel hat immer einen Wert zwischen 0 und \(\pi\) bzw. zwischen \(0^\circ\) und \(180^\circ\).

Für den Winkel \(\varphi\) zwischen zwei Vektoren \(\vec{a}\) und \(\vec{b}\) gilt:

\(\vec{a}\circ\vec{b}=|\vec{a}|\cdot |\vec{b}|\cdot \cos\varphi\)

Durch Umformen erhältst du: \(\displaystyle \cos \varphi =\frac{\vec a\circ\vec b}{\left|\vec a\right|\cdot|\vec b|}\) \(\displaystyle \Rightarrow\;\;\;\;\varphi=\cos^{-1}\left(\frac{\vec a\circ\vec b}{\left|\vec a\right|\cdot|\vec b|}\right)\)

Wichtig: In dieser Formel sind die Längen von \(\vec{a}\) und \(\vec{b}\) im Nenner. Daher muss man darauf achten, dass weder \(\vec{a}\) noch \(\vec{b}\) gleich dem Nullvektor sind.

Beispiel

Berechne den Winkel, der zwischen den beiden Vektoren \(\displaystyle \vec{a}=\begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix}\) und \(\displaystyle \vec{b}=\begin{pmatrix}1\\1\end{pmatrix}\) eingeschlossen wird!

Berechne zuerst das Skalarprodukt:

\(\vec{a}\circ\vec{b}=1\cdot1+1\cdot0=1\).

Als Nächstes berechnest du jeweils die Länge der beiden Vektoren:

\(|\vec{a}|=\sqrt{1^2+0^2}=1\)

\(|\vec{b}|=\sqrt{1^2+1^2}=\sqrt2\)

Einsetzen des Skalarprodukts und der Länge der Vektoren in die Formel für den Winkel liefert:

\(\displaystyle \varphi=\cos^{-1}\left(\frac{\vec a\circ\vec b}{\left|\vec a\right|\cdot|\vec b|}\right)=\cos^{-1}\left(\frac{1}{1\cdot\sqrt{2}}\right)=45^\circ\)

Der Winkel \(\varphi\) zwischen den beiden Vektoren \(\vec{a}\) und \(\vec{b}\) ist also \(45^\circ\).