Geraden im Raum
Geometrie
Klasse 12
- Wie beschreibt man eine Gerade im Raum?
- Wie prüft man, ob ein Punkt auf ihr liegt?
Schlau Fassung
Geraden im Raum
- Im Raum gibt es keine Steigung mehr. Eine Gerade wird deshalb durch einen Punkt und eine Richtung beschrieben: \(g: \vec{x} = \vec{p}+t\cdot\vec{u}\).
- \(\vec{p}\) ist der Stützvektor (ein Punkt auf der Geraden), \(\vec{u}\) der Richtungsvektor, \(t\) der Parameter – für jedes \(t\) erhält man einen anderen Punkt.
- Aus zwei Punkten: \(\vec{p} = \vec{OA}\) und \(\vec{u} = \vec{AB}\).
- Punktprobe: Man setzt den Punkt ein und prüft, ob sich für alle Koordinaten dasselbe \(t\) ergibt. Schon eine Abweichung genügt: Der Punkt liegt nicht auf der Geraden.
- Dieselbe Gerade lässt sich auf viele Arten schreiben – jeder ihrer Punkte und jedes Vielfache der Richtung ist erlaubt.
- Lagebeziehungen: Zwei Geraden können identisch, parallel, schneidend oder windschief sein – Letzteres gibt es nur im Raum.
Aufgaben
- Stelle die Geradengleichung durch \(A(1|0|2)\) und \(B(3|4|2)\) auf.
Lösung
\(\vec{x} = (1;0;2)+t(2;4;0)\). - Liegt \(P(5|8|2)\) auf dieser Geraden?
Lösung
\(1+2t=5\) → \(t=2\); dann \(0+8=8\) ✓ und \(z=2\) ✓ – ja. - Wo schneidet \(\vec{x} = (0;0;6)+t(1;2;-3)\) die xy-Ebene?
Lösung
\(6-3t=0\) → \(t=2\); Punkt \((2|4|0)\).
Weiterführende Aufgaben
- Beschreibe die Flugbahn einer Drohne durch eine Geradengleichung und bestimme, wann sie eine bestimmte Höhe erreicht.