Einheitskreis und Sinusfunktion
- Wie wird aus dem Sinus eine Funktion?
- Was beschreibt eine Sinuskurve in der Wirklichkeit?
Zum Ausprobieren: Trigonometrie Tour
Wandern Sie über den Einheitskreis und verfolgen Sie Sinus und Kosinus im Graphen.
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Simulation von PhET Interactive Simulations, University of Colorado Boulder, lizenziert unter CC BY 4.0 (https://phet.colorado.edu)
Einheitskreis
Der Einheitskreis ist der Kreis um den Ursprung eines Koordinatensystems mit Radius \(r=1\). Das bedeutet, er stellt die Menge aller Punkte dar, die vom Nullpunkt den Abstand \(1\) haben.
So liegen beispielsweise die Punkte
- \((1 ~|~ 0)\)
- \((0 ~|~ 1)\)
- \((-1 ~|~ 0)\)
- \((0 ~|~ -1)\)
auf dem Einheitskreis.
Anwendung
Am Einheitskreis lassen sich die trigonometrischen Funktion Sinus, Kosinus und Tangens veranschaulichen. Siehe hierzu den zugehörigen Artikel: Trigonometrie am Einheitskreis
Erklärung von Serlo Education e. V., lizenziert unter CC BY-SA 4.0 – Original bei Serlo, CC BY-SA 4.0, übernommen am 2026-09-03.
Schlau Fassung
Einheitskreis und Sinusfunktion
- Im Einheitskreis (Radius 1) wandert ein Punkt auf dem Kreis. Seine Höhe über der x-Achse ist der Sinus des Drehwinkels, sein waagerechter Abstand der Kosinus.
- Trägt man die Höhe über dem Winkel auf, entsteht die Sinuskurve – eine Welle zwischen \(-1\) und \(1\).
- So werden Sinus und Kosinus auch für Winkel über \(90^\circ\) erklärt, wo es kein rechtwinkliges Dreieck mehr gibt.
- Die Kurve ist periodisch: Nach \(360^\circ\) wiederholt sie sich. Deshalb beschreibt sie alles, was regelmäßig wiederkehrt – Gezeiten, Tageslänge, Wechselstrom, Schallwellen, Herzschlag.
- Parameter: \(y = a\sin(bx)\) – \(a\) verändert die Höhe (Amplitude), \(b\) die Länge einer Schwingung (Periode).
- Es gilt außerdem \(\sin^2\alpha+\cos^2\alpha = 1\) – das ist der Satz des Pythagoras im Einheitskreis.
Aufgaben
- Bestimme \(\sin 0^\circ\), \(\sin 90^\circ\), \(\sin 180^\circ\), \(\sin 270^\circ\).
Lösung
\(0\); \(1\); \(0\); \(-1\). - Zeichne \(y=\sin x\) für \(0^\circ\) bis \(360^\circ\). Wo liegen Hoch- und Tiefpunkte?
Lösung
Hochpunkt bei \(90^\circ\), Tiefpunkt bei \(270^\circ\), Nullstellen bei 0, 180 und 360. - Nenne drei Vorgänge, die sich mit einer Sinuskurve beschreiben lassen.
Lösung
Z. B. Ebbe und Flut, Tageslänge im Jahresverlauf, Wechselspannung.
Weiterführende Aufgaben
- Trage für ein Jahr die Sonnenaufgangszeiten deines Ortes auf. Passt eine Sinuskurve dazu?