Sinussatz und Kosinussatz

Der Sinus- und der Kosinussatz stellen Beziehungen zwischen Seitenlängen und Winkeln in beliebigen Dreiecken her.

Für ein beliebiges Dreieck mit den Seiten \(a\), \(b\), \(c\)  und den jeweils gegenüberliegenden Winkeln \(\alpha\), \(\beta\), \(\gamma\) gilt:

Sinussatz

$$\frac{a}{\sin\left(\alpha\right)}=\frac{b}{\sin\left(\beta\right)}=\frac{c}{\sin\left(\gamma\right)}._{ }^{ }$$

Kosinussatz

• \(c^2=a^2+b^2-2ab\cdot\cos\left(\gamma\right)\)
• \(b^2=a^2+c^2-2ac\cdot\cos\left(\beta\right)\)
• \(a^2=b^2+c^2-2bc\cdot\cos\left(\alpha\right)\)

Wenn du den Winkel berechnen willst, musst du nach den Kosinuswerten umformen:

• \(\cos(\gamma)=\dfrac{a^2+b^2-c^2}{2ab}\), und \(\gamma=\cos^{-1}\left(\dfrac{a^2+b^2-c^2}{2ab}\right)\)
• \(\cos(\beta)=\dfrac{a^2+c^2-b^2}{2ac}\), und \(\beta=\cos^{-1}\left(\dfrac{a^2+c^2-b^2}{2ac}\right)\)
• \(\cos(\alpha)=\dfrac{b^2+c^2-a^2}{2bc}\), und \(\alpha=\cos^{-1}\left(\dfrac{b^2+c^2-a^2}{2bc}\right)\)

Alternative Formulierung des Sinussatzes

Durch Umformungen kann man den Sinussatz auch auf folgende Formen bringen:

$$\frac{\sin\left(\alpha\right)}{a}=\frac{\sin\left(\beta\right)}{b}=\frac{\sin\left(\gamma\right)}{c}.$$

$$\frac{a}{b}=\frac{\sin\left(\alpha\right)}{\sin\left(\beta\right)}\qquad\qquad\qquad \frac{a}{c}=\frac{\sin\left(\alpha\right)}{\sin\left(\gamma\right)}\qquad\qquad\qquad\frac{b}{c}=\frac{\sin\left(\beta\right)}{\sin\left(\gamma\right)} $$

Man kann nach den einzelnen Größen auflösen:

$$\displaystyle a=\frac{b}{\sin(\beta)}\cdot \sin(\alpha) =\frac{c}{\sin(\gamma)}\cdot \sin(\alpha)$$$$\displaystyle b=\frac{a}{\sin(\alpha)}\cdot \sin(\beta) =\frac{c}{\sin(\gamma)}\cdot \sin(\beta)$$$$\displaystyle c=\frac{a}{\sin(\alpha)}\cdot \sin(\gamma) =\frac{b}{\sin(\beta)}\cdot \sin(\gamma)$$

Auflösung nach den Winkeln:

$$\alpha=\sin^{-1}\left(\frac{a}{b}\sin(\beta)\right)= \sin^{-1}\left(\frac{a}{c}\sin(\gamma)\right)$$$$\beta= \sin^{-1}\left(\frac{b}{a}\sin(\alpha)\right)= \sin^{-1}\left(\frac{b}{c}\sin(\gamma)\right)$$$$\gamma=\sin^{-1}\left(\frac{c}{a}\sin(\alpha)\right)= \sin^{-1}\left(\frac{c}{b}\sin(\beta)\right)$$

Der Satz des Pythagoras als Spezialfall des Kosinussatzes

Für \(\gamma=90^\circ\) erhält man ein rechtwinkliges Dreieck und es gilt \(\cos(90^\circ)=0\). Damit ist der Satz des Pythagoras \(c^2=a^2+b^2\) ein Spezialfall des Kosinussatzes.

Beispiel

Im Dreieck \(ABC\) seien die Werte  \(a=6{,}10\), \(\mathrm\alpha=45^\circ\), \(\beta=55^\circ\) und damit auch \(\gamma=80^\circ\) gegeben.

Berechne zuerst mithilfe des Sinussatzes die Länge der Seite \(b\):

$$\frac{a}{\sin(\alpha)}=\frac{b}{\sin\left(\beta\right)}$$

Setze die bekannten Werte ein.

$$\frac{6,1}{\sin\left(45^{\circ}\right)}=\frac{b}{\sin\left(55^{\circ}\right)}$$

Löse nach \(b\) auf.

$$\Rightarrow b=\frac{6,1\cdot\sin(55^{\circ})}{\sin(45^{\circ})}=7,1$$

Berechne nun mithilfe des Kosinussatzes die Länge der Seite \(c\):

$$c=\sqrt{a^2+b^2-2ab\cdot\cos\left(\gamma\right)}$$

Setze die Werte ein.

$$=\sqrt{6,1^2+7,1^2-2\cdot6,1\cdot7,1\cdot\cos\left(80^{\circ}\right)}=8,5$$

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