Längen und Winkel berechnen

Rechnen mit Sinus, Kosinus und Tangens

• Vorgehen: Skizze zeichnen, den betrachteten Winkel markieren, die drei Seiten benennen (Gegenkathete, Ankathete, Hypotenuse) – erst dann die passende Funktion wählen.
• Faustregel: Kommt die Hypotenuse vor, sind Sinus oder Kosinus dran; kommen nur die beiden Katheten vor, ist es der Tangens.
• Winkel gesucht: mit den Umkehrfunktionen \(\sin^{-1}\), \(\cos^{-1}\), \(\tan^{-1}\) rechnen.
• Höhenmessung: Man misst den Abstand zum Objekt und den Sehwinkel zur Spitze; dann ist \(h = d\cdot\tan\alpha\) – zuzüglich der eigenen Augenhöhe.
• Steigung: Eine Straße mit 8 % Steigung entspricht \(\tan\alpha = 0{,}08\), also rund \(4{,}6^\circ\).
• Ergebnisse immer auf Plausibilität prüfen: Die Hypotenuse muss die längste Seite bleiben.

1. Eine Leiter (6 m) lehnt im Winkel von \(72^\circ\) an der Wand. Wie hoch reicht sie?
   Lösung

   \(6\sin 72^\circ \approx 5{,}71\,\mathrm{m}\).
2. Ein Turm wirft aus 30 m Entfernung einen Sehwinkel von \(38^\circ\) (Augenhöhe 1,6 m). Wie hoch ist er?
   Lösung

   \(30\tan 38^\circ+1{,}6 \approx 25{,}0\,\mathrm{m}\).
3. Eine Rampe steigt auf 5 m Länge um 40 cm. Steigungswinkel?
   Lösung

   \(\sin\alpha = 0{,}08\) → \(\alpha \approx 4{,}6^\circ\).

1. Bestimme mit einem selbst gebauten Winkelmesser die Höhe eines Baumes oder des Schulgebäudes und vergleiche mit einer zweiten Messung von anderer Stelle.