Sinus, Kosinus und Tangens am rechtwinkligen Dreieck
- Was bedeuten Gegenkathete und Ankathete?
- Warum hängen die Werte nur vom Winkel ab?
Zum Ausprobieren: Trigonometrie Tour
Wandern Sie über den Einheitskreis und verfolgen Sie Sinus und Kosinus im Graphen.
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Simulation von PhET Interactive Simulations, University of Colorado Boulder, lizenziert unter CC BY 4.0 (https://phet.colorado.edu)
Sinus, Kosinus und Tangens
Die Winkelfunktionen Sinus, Kosinus und Tangens sind die wichtigsten trigonometrischen Funktionen.
Sinus, Kosinus und Tangens beschreiben das Verhältnis von Seitenlängen in einem rechtwinkligen Dreieck in Abhängigkeit von einem der spitzen Winkel. Sie sind folgendermaßen definiert.
- \(\sin (\alpha )=\frac{\text{Gegenkathete}}{\text{Hypotenuse}}\)
- \(\cos (\alpha )=\frac{\text{Ankathete}}{\text{Hypotenuse}}\)
- \(\tan (\alpha )=\frac{\text{Gegenkathete}}{\text{Ankathete}}\)
Dabei bezeichnet man als "Ankathete" die Kathete, die zusammen mit der Hypotenuse den Winkel \(\alpha\) einschließt. Die "Gegenkathete" ist die Kathete, die dem Winkel gegenüberliegt (siehe Bild).
Die "Ankathete" wird hier im Bild mit einem \(b\), die "Gegenkathete" mit einem \(a\) und die Hypotenuse mit einem \(c\) bezeichnet.
Beachte: Die Seite \(a\) liegt gegenüber dem Winkel \(\alpha\), \(\beta\) gegenüber \(b\) und \(c\) gegenüber \(\gamma\). Wobei \(\gamma\) in diesem Beispiel der rechte Winkel ist.
Folgende Winkelbeziehungen ergeben sich daraus:
$$\sin(\alpha)=\frac{a}{c}\\[2ex]\cos(\alpha)=\frac{b}{c}\\[2ex]\tan(\alpha)=\frac{a}{b} $$Wichtige Funktionswerte
Die folgende Wertetabelle zeigt die Funktionswerte des Kosinus, Sinus und Tangens:
Achtung: Im Fall \(\alpha=90^\circ\) entsteht kein Dreieck, da der \(\tan(90^\circ)\) nicht definiert ist. Siehe dazu Trigonometrie am Einheitskreis.
Abhängigkeiten
Wenn du von einem rechtwinkligen Dreieck eine Seite und einen Winkel gegeben hast, kannst du mithilfe der trigonometrischen Funktionen die restlichen Seiten berechnen.
Hypotenuse \(c\) ist gegeben.
Ankathete \(b\) ist gegeben.
Gegenkathete \(a\) ist gegeben.
Diese Formeln erhält man, indem man die Definitionen von Sinus, Kosinus und Tangens je nach \(b\), \(a\) und \(c\) auflöst.
Im ersten Fall, wenn die Hypotenuse \(c\) gegeben ist, geht das wie folgt.
\(\sin\alpha=\dfrac{a}{c}\Rightarrow a=\sin\alpha\cdot c\)
\(\cos\alpha=\dfrac b c \Rightarrow b=\cos \alpha\cdot c\)
Die weiteren Fälle ergeben sich ebenso.
Beispiel
Von einem bei \(C\) rechtwinkligen Dreieck \(\bigtriangleup\mathrm{ABC}\) ist die Länge der Hypotenuse \(c=4\) und der Winkel \(\alpha=30^\circ\) bekannt (erstes Schaubild).
Dann lassen sich die Längen der Ankathete \(b\) und der Gegenkathete \(a\) mithilfe des Sinus und des Kosinus berechnen:
\(b\;=\;\cos(\alpha)\cdot c=\;\cos(30^\circ)\cdot4\;=\;\dfrac{\sqrt3}2\cdot4\;=\;2\sqrt3\)
\(a\;=\;\sin(\alpha)\cdot c\;=\;\sin(30^\circ)\cdot4\;=\;\dfrac12\cdot4\;=\;2\)
Rechenregeln
Es gibt einige Rechenregeln zu Sinus, Kosinus und Tangens. Hier werden besprochen:
- Tangens als Quotient von Sinus und Kosinus,
- der trigonometrische Pythagoras,
- die Additionstheoreme.
Tangens als Quotient von Sinus und Kosinus
Direkt über die Definition von oben erhält man für den Tangens folgende alternative Darstellung:
$$\tan(\alpha)=\frac{\sin(\alpha)}{\cos(\alpha)}$$Die Korrektheit dieser Gleichung kannst du auch einfach nachrechnen:
\(\dfrac{\sin\alpha}{\cos\alpha}=\dfrac{~~\dfrac{a}{c}~~}{\dfrac{b}{c}}=\dfrac{a\cdot c}{c\cdot b}=\dfrac{a}{b}=\tan\alpha\)
Trigonometrischer Pythagoras
Aus der Definition am Einheitskreis folgt aus dem Satz des Pythagoras direkt:
$$\left(\sin \alpha\right)^2+\left(\cos \alpha\right)^2=1$$Eine ausführliche Erklärung findest du im Video weiter unten.
Additionstheoreme
Die Additionstheoreme ermöglichen es, den Sinus und den Kosinus einer Summe zu berechnen:
$$\sin(\alpha+\beta)=\sin(\alpha)\cdot\cos(\beta)+ \sin(\beta)\cdot\cos(\alpha) $$$$\cos(\alpha+\beta)=\cos(\alpha)\cdot\cos(\beta)-\sin(\alpha)\cdot\sin(\beta)$$$$\sin(\alpha-\beta)=\sin(\alpha)\cdot\cos(\beta)- \sin(\beta)\cdot\cos(\alpha)$$$$\cos(\alpha-\beta)=\cos(\alpha)\cdot\cos(\beta)+\sin(\alpha)\cdot\sin(\beta)$$
Weitere Beziehungen zwischen Sinus, Kosinus und Tangens
Im Artikel Beziehungen trigonometrischer Funktionen findest du weitere Beziehungen der Funktionen.
Trigonometrie am Einheitskreis
Die im Artikel dargestellten Winkelbeziehungen kannst du dir auch am Einheitskreis verdeutlichen. Mehr zu diesem Thema kannst du hier lesen: Trigonometrie am Einheitskreis.
Sinus-, Kosinus- und Tangensfunktion
Sinus, Kosinus und Tangens kannst du auch als Funktionen darstellen. Mehr dazu findest du im Artikel Sinusfunktion und Kosinusfunktion oder Tangensfunktion.
Erklärung von Serlo Education e. V., lizenziert unter CC BY-SA 4.0 – Original bei Serlo, CC BY-SA 4.0, übernommen am 2026-09-03.
Schlau Fassung
Sinus, Kosinus und Tangens
- Im rechtwinkligen Dreieck betrachtet man einen Winkel \(\alpha\). Die Seite gegenüber ist die Gegenkathete, die anliegende die Ankathete, die längste die Hypotenuse.
- \(\sin\alpha = \frac{\text{Gegenkathete}}{\text{Hypotenuse}}\), \(\cos\alpha = \frac{\text{Ankathete}}{\text{Hypotenuse}}\), \(\tan\alpha = \frac{\text{Gegenkathete}}{\text{Ankathete}}\).
- Diese Verhältnisse hängen nur vom Winkel ab, nicht von der Größe des Dreiecks: Alle rechtwinkligen Dreiecke mit demselben Winkel sind ähnlich, und bei ähnlichen Figuren bleiben Seitenverhältnisse gleich.
- Merkhilfe: GAGA HühnerHof AG – Gegenkathete/Hypotenuse, Ankathete/Hypotenuse, Gegenkathete/Ankathete.
- Wichtige Werte: \(\sin 30^\circ = 0{,}5\), \(\sin 45^\circ = \cos 45^\circ \approx 0{,}707\), \(\tan 45^\circ = 1\).
- Der Taschenrechner muss auf DEG stehen, sonst rechnet er im Bogenmaß.
Aufgaben
- In einem Dreieck ist \(\alpha=40^\circ\), \(c=10\,\mathrm{cm}\). Berechne beide Katheten.
Lösung
\(a = 10\sin 40^\circ \approx 6{,}43\); \(b = 10\cos 40^\circ \approx 7{,}66\,\mathrm{cm}\). - Gegenkathete 5 cm, Ankathete 12 cm. Wie groß ist \(\alpha\)?
Lösung
\(\tan\alpha = \frac{5}{12}\) → \(\alpha \approx 22{,}6^\circ\). - Warum ist \(\sin\alpha\) nie größer als 1?
Lösung
Die Gegenkathete ist immer kürzer als die Hypotenuse.
Weiterführende Aufgaben
- Zeichne fünf verschieden große rechtwinklige Dreiecke mit \(30^\circ\) und miss jeweils \(\frac{\text{Gegenkathete}}{\text{Hypotenuse}}\). Was fällt auf?