Unzugängliche Längen bestimmen
Geometrie
Klasse 9, 10
- Wie misst man eine Baumhöhe ohne Leiter?
- Wie bestimmt man eine Flussbreite ohne Überquerung?
Schlau Fassung
Unzugängliche Längen bestimmen
- Das Schattenverfahren ist das älteste: Ein Stab bekannter Länge und der Baum werfen zur gleichen Zeit Schatten. Weil die Sonnenstrahlen parallel einfallen, sind die Dreiecke ähnlich: \(\dfrac{\text{Baumhöhe}}{\text{Baumschatten}} = \dfrac{\text{Stabhöhe}}{\text{Stabschatten}}\).
- Beispiel: Stab 1 m mit 1,5 m Schatten, Baumschatten 12 m → Baumhöhe \(\dfrac{1}{1{,}5} \cdot 12 = 8\) m.
- Der Försterdreisprung arbeitet mit einem Daumen und einem Stock statt mit Sonne – nützlich an bewölkten Tagen.
- Die Flussbreite bestimmt man mit einem Peilverfahren: Man markiert einen Punkt am anderen Ufer, geht am eigenen Ufer eine bekannte Strecke entlang und misst Winkel oder Hilfsstrecken. Über die Ähnlichkeit ergibt sich die Breite.
- Genauigkeit ist eine Frage der Sorgfalt: Der Schatten muss gleichzeitig gemessen werden, der Boden möglichst eben sein. Zwei unabhängige Messungen decken Fehler auf.
- Dasselbe Prinzip steckt in der modernen Technik: Fotogrammetrie und 3D-Vermessung rechnen ebenfalls mit ähnlichen Dreiecken – nur automatisch.
Aufgaben
- Stab 2 m, Schatten 3 m, Baumschatten 18 m. Wie hoch ist der Baum?
Lösung
\(\dfrac{2}{3}\cdot 18 = 12\) m. - Warum müssen beide Schatten gleichzeitig gemessen werden?
Lösung
Der Sonnenstand ändert sich – sonst gehören die Dreiecke nicht zusammen. - Worauf beruht das Verfahren?
Lösung
Auf der Ähnlichkeit der Dreiecke bei parallelen Sonnenstrahlen.
Weiterführende Aufgaben
- Bestimmt die Höhe des Schulgebäudes mit zwei verschiedenen Verfahren und vergleicht die Ergebnisse. Wie groß ist die Abweichung?