Beziehungen trigonometrischer Funktionen
Erklärung von Serlo Education e. V., lizenziert unter CC BY-SA 4.0 – Original bei Serlo, CC BY-SA 4.0, übernommen am 2026-09-03.
Sinus, Kosinus und Tangens stehen in unterschiedlichen Beziehungen. Hierbei unterscheidet man zwischen der Komplementbeziehung und der Supplementbeziehung.
Komplementbeziehungen
- \(\sin(90^\circ-\alpha)=\cos(\alpha)\)
- \(\cos(90^\circ-\alpha)=\sin(\alpha)\)
- \(\tan(90^\circ-\alpha)=\frac1{\tan(\alpha)}\)
Da in einem Dreieck die Summe der Innenwinkel immer 180° ist, gilt in einem rechtwinkligen Dreieck \(\beta=90°-\alpha\).
Anhand der Sinus-, Kosinus- und Tangensformeln sieht man:
$$\sin(90°-\alpha)=\frac{\text{Gegenkathete}}{\text{Hypotenuse}}=\frac{b}{c}$$
$$\cos(\alpha)=\dfrac{\text{Ankathete}}{\text{Hypotenuse}}=\dfrac{b}{c}.$$
Deshalb ist \(\;\sin(90°-\alpha)=\cos(\alpha)\).
Die anderen Gleichungen lassen sich auf gleiche Weise erklären.
Beispiel
Betrachte das gegebene Dreieck. Berechne \(\cos(\alpha)\) auf die gleiche Weise wie oben.
Mit der Komplementbeziehung kannst du \(\cos(\alpha)\) mit \(\sin(90°-\alpha)\) gleichsetzen.
$$\cos(\alpha)=\sin(90°-\alpha)$$Wegen der Summe der Innenwinkel gilt folgende Gleichung.
$$\sin(90°-\alpha)=\sin(\beta)$$Füge den Wert von \(\beta\) ein, berechne das Ergebnis und runde es auf \(2\) Dezimalstellen.
\(\sin(\beta)=\sin(40°)\approx0,59.\)
Deshalb ist \(\cos(\alpha)\approx0,59.\)
Supplementbeziehungen
Veranschaulichung
\(\sin(180°+\alpha)=-\sin(\alpha)\;\) und \(\;\cos(180°+\alpha)=-\cos(\alpha)\;\) lassen sich hier testen: