Parameter und Koeffizient

Ein Parameter ist eine Variable, die zusammen mit der Funktionsvariablen \(x\) auftritt.

Ein Koeffizient ist ein Faktor, der zu einer Variable gehört. Ein Koeffizient kann auch ein Parameter sein.

Parameter

Ein Parameter, meist mit \(a,\ b\) oder \(k\) bezeichnet, ist ähnlich einer Variablen nicht auf einen bestimmten Wert festgelegt. Trotzdem wird mit ihm wie mit einem festen Wert gerechnet.

Beispiel:

In der Funktion \(f_k\left(x\right)=kx^3\) ist \(k\) ein Parameter und \(x\) die Variable. Manchmal wird der Parameter einer Funktion als Index notiert: \(f_k\left(x\right)\) statt \(f\left(x\right)\)

Bei der allgemeinen quadratischen Funktion \(g\left(x\right)=ax^2+bx+c\) sind \(a,\ b,\ c\) Parameter. Diese nehmen in einer bestimmten quadratischen Funktion einen festen Wert an (z.B. \(g\left(x\right)=2x^2-x+5\)).

Koeffizient

Ein Koeffizient ist ein Faktor, der zu einer Variablen oder einem Vektor gehört.

Beispiel:

Bei der Funktion \(h\left(x\right)=2x^2\) ist die \(2\) ein Koeffizient, jedoch kein Parameter, denn der Wert ist fest definiert.

Bei der obigen Funktion \(f_k\left(x\right)=kx^3\) ist \(k\) sowohl der Koeffizient, als auch ein Parameter, da das \(k\) veränderlich ist.

Unterschied zwischen Parameter und Variable

Ändert sich der Wert einer Variablen, verändern sich die Funktionswerte. Ändert sich hingegen ein Parameter, verändert sich der Verlauf des Funktionsgraphen.

Beispiel:

Verändern wir bei der Funktion \(g\left(x\right)=2x^2-x+5\) den Wert der Variablen, so erhalten wir unterschiedliche Funktionswerte:

\(g\left(1\right)=2\cdot1^2-1+5=6\)

\(g\left(5\right)=2\cdot5^2-5+5=50\)

Verändern wir hingegen bei der Funktion \(f_k\left(x\right)=kx+3\) die Werte, die der Parameter \(k\) annimmt, verändert sich der Verlauf der Funktion:

Wir setzen \(k=3\)\(.\ f_3\left(x\right)=3x+3\)

Der Index \(k\) in \(f_k\left(x\right)\) ändert sich deshalb zu einer \(3\).

Für \(k=-2\) erhalten wir \(f_{-2}\left(x\right)=-2x+3\)

\(f_3\left(x\right)\) und \(f_{-2}\left(x\right)\) sind zwar beide Geraden, haben allerdings unterschiedliche Verläufe. Führt man diese Rechnung noch für \(k=1\) und \(k=6\) durch und zeichnet dann alle Geraden in ein Koordinatensystem ein, erhält man die folgende Abbildung:

Die Funktion \(f_k\left(x\right)=kx+3\) ist eine Funktionenschar. Durch Variation des Parameters erhält man unterschiedliche Funktionsverläufe.