Ebene von Parameterform in Normalform umwandeln
Erklärung von Serlo Education e. V., lizenziert unter CC BY-SA 4.0 – Original bei Serlo, CC BY-SA 4.0, übernommen am 2026-09-03.
Um eine Ebene in Parameterform in die entsprechende Normalform umzuwandeln, berechnet man den zugehörigen Normalenvektor \(\vec n\), wählt einen beliebigen in der Ebene liegenden Punkt mit Richtungsvektor \(\vec a\) und setzt beide Vektoren in die allgemeine Normalform ein.
Weitere Darstellungswechsel
Vorgehen am Beispiel
Ausgehend von einer Ebene \(E\) in Parameterform
$$E:\vec x=\begin{pmatrix}1\\2\\4\end{pmatrix}+\lambda\cdot\begin{pmatrix}0\\1\\1\end{pmatrix}+\mu\cdot\begin{pmatrix}1\\0\\1\end{pmatrix}$$wird der Normalenvektor \(\vec{n} \) der Ebene als Kreuzprodukt aus den beiden Richtungsvektoren berechnet:
$$\vec n=\begin{pmatrix}0\\1\\1\end{pmatrix}\times\begin{pmatrix}1\\0\\1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1\cdot1-1\cdot0\\1\cdot1-0\cdot1\\0\cdot0-1\cdot1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1\\1\\-1\end{pmatrix}$$Für den Vektor \(\vec{a}\) aus der Normalenform wird der Ortsvektor eines beliebigen Punktes in der Ebene gewählt. Der Aufpunkt ist hierbei die einfachste Wahl.
$$\vec a=\begin{pmatrix}1\\2\\4\end{pmatrix}$$Die Vektoren \(\vec{n}\) und \(\vec{a}\) können in die allgemeine Normalform eingesetzt werden:
$$E:\vec n\circ\left[\vec x-\vec a\right]=0$$$$E:\begin{pmatrix}1\\1\\-1\end{pmatrix}\circ\left[\begin{pmatrix}x_1\\x_2\\x_3\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}1\\2\\4\end{pmatrix}\right]=0$$