Ebene von Koordinatenform in Normalform umwandeln

Um eine Ebene von Koordinatenform in die entsprechende Normalform umzuwandeln, liest man die Einträge des Normalenvektors \(\overrightarrow n\) aus den Koeffizienten der Koordinaten \(x_1,\;x_2\) und \(x_3\)  in der Koordinatenform ab und wählt die Einträge von \(\overrightarrow a\) als die Koordinaten eines beliebigen Punktes, der die Koordinatengleichung erfüllt.

Weitere Darstellungswechsel

• Parameterform nach Koordinatenform
• Parameterform nach Normalform
• Koordinatenform nach Parameterform
• Normalform nach Parameterform
• Normalform nach Koordinatenform

Vorgehen am Beispiel

• Koordinatenform der Ebene E

• Einträge des Normalenvektors bestimmen

• Diese stimmen mit den jeweiligen Koeffizienten von \(x_1\), \(x_2\) und \(x_3\) überein.

$$E:1\cdot x_1+1\cdot x_2+\left(-1\right)\cdot x_3+1=0$$

$$\vec n=\begin{pmatrix}1\\1\\-1\end{pmatrix}$$

• Beliebigen Punkt mit Ortsvektor \(\vec a\) suchen, dessen Koordinaten die Ebenengleichung in Koordinatenform erfüllen, z. B.:  

• \(\vec n\;\mathrm{und}\;\vec a\)  in die allgemeine Normalform einsetzen

$$\vec a=\begin{pmatrix}0\\0\\1\end{pmatrix}\;,\;\vec n=\begin{pmatrix}1\\1\\-1\end{pmatrix}\;,\;E:\vec n\circ\left[\vec x-\vec a\right]=0$$

• Normalform der Ebene E

$$E:\begin{pmatrix}1\\1\\-1\end{pmatrix}\circ\left[\begin{pmatrix}x_1\\x_2\\x_3\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}0\\0\\1\end{pmatrix}\right]=0$$