Ebene von Parameterform in Koordinatenform umwandeln

Um eine Ebene von Parameterform in die entsprechende Koordinatenform umzuwandeln, muss man nacheinander folgende Umwandlungen vornehmen:

1. von Parameterform in Normalform

2. von Normalform in Koordinatenform

Weitere Darstellungswechsel

• Parameterform nach Normalform

• Koordinatenform nach Parameterform

• Koordinatenform nach Normalform

• Normalform nach Parameterform

• Normalform nach Koordinatenform

Vorgehen am Beispiel

• Parameterform der Ebene E

$$E:\vec x=\begin{pmatrix}1\\2\\4\end{pmatrix}+k\begin{pmatrix}0\\1\\1\end{pmatrix}+l\begin{pmatrix}1\\0\\1\end{pmatrix}$$

• Parameterform in entsprechende Normalform umwandeln, hierzu berechne den Normalenvektor \(\vec{n}.\)

$$\vec n=\begin{pmatrix}0\\1\\1\end{pmatrix}\times\begin{pmatrix}1\\0\\1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1\cdot1-1\cdot0\\1\cdot1-0\cdot1\\0\cdot0-1\cdot1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1\\1\\-1\end{pmatrix}$$$$\Rightarrow E:\begin{pmatrix}1\\1\\-1\end{pmatrix}\circ\left[\begin{pmatrix}x_1\\x_2\\x_3\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}1\\2\\4\end{pmatrix}\right]=0$$

• Normalform in Koordinatenform umwandeln durch Ausführen des Skalarproduktes.

• Koordinatenform der Ebene E

$$E:x_1+x_2-x_3+1=0$$