Ebene von Koordinatenform in Parameterform umwandeln

Um eine Ebene in Koordinatenform in die entsprechende Parameterform umzuwandeln, setzt man 

$$x_1=0+k\cdot1+l\cdot0,\ \ \ \ x_2=0+k\cdot0+l\cdot1,$$

löst die Ebenengleichung nach \(x_3\) auf, und schreibt schließlich \(x_1,\;x_2\;\mathrm{und}\;x_3\)  passend so übereinander, dass sich die gesuchte Parameterform leicht ablesen lässt.

Einschränkung: das geht so nur, wenn \(x_3\) in der Koordinatenform vorkommt. Falls das nicht der Fall ist, aber z.B. \(x_2\) vorkommt, vertausche die Rollen von \(x_2\) und \(x_3\) im Text oben.

Weitere Darstellungswechsel

• Parameterform nach Koordinatenform
• Parameterform nach Normalform
• Koordinatenform nach Normalform
• Normalform nach Parameterform
• Normalform nach Koordinatenform

Vorgehen Beispiel 1

• Koordinatenform der Ebene E

$$E:2x_1+4x_2-2x_3+6=0$$

• Ebenengleichung nach  \(x_3\) auflösen und den erhaltenen Term so sortieren, dass die Zahl von  \(x_1\;\mathrm{und}\;x_2\)  gefolgt wird

$$x_3=3+x_1+2x_2$$

• In der erhaltenen Gleichung \(x_1\) durch k und \(x_2\) durch l ersetzen

$$x_1=k$$$$x_2=l$$$$x_3=3+k+2\cdot l$$

• \(x_1,\;x_2\;\mathrm{und}\;x_3\)  passend übereinander schreiben

$$\begin{array}{ccccccc}x_1&=&0&+&1\cdot k&+&0\cdot l\\x_2&=&0&+&0\cdot k&+&1\cdot l\\x_3&=&3&+&1\cdot k&+&2\cdot l\end{array}$$

• Parameterform der Ebene E

$$E:\overrightarrow x=\begin{pmatrix}0\\0\\3\end{pmatrix}+k\cdot\begin{pmatrix}1\\0\\1\end{pmatrix}+l\cdot\begin{pmatrix}0\\1\\2\end{pmatrix}$$

Vorgehen Beispiel 2

Ist eine Koordinate nicht enthalten, dann kann man „⁣\(0\cdot Koordinate\)⁣“ ergänzen.

• Koordinatenform der Ebene E

$$E:\ \ x_1-2x_3+4=0$$

• ergänzen zu:

$$E:\ \ x_1+0x_2-2x_3+4=0$$

• Ebenengleichung nach \(x_3\) auflösen und den so erhaltenen Term so sortieren, dass die Zahl von \(x_1\;\mathrm{und}\;x_2\)  gefolgt wird

$$x_3=2+\frac{x_1}{2}+0\cdot x_2$$

• In der erhaltenen Gleichung \(x_1\) durch k und \(x_2\) durch l ersetzen

$$x_1=k$$$$x_2=l$$$$x_3=2+\frac{1}{2}\cdot k+0\cdot l$$

• \(x_1\), \(x_2\)  und  \(x_3\)  passend übereinander schreiben

$$\begin{array}{ccccccc}x_1&=&0&+&1\cdot k&+&0\cdot l\\x_2&=&0&+&0\cdot k&+&1\cdot l\\x_3&=&2&+& \frac{1}{2} \cdot k&+&0\cdot l\end{array}$$

• Parameterform der Ebene E

$$E:\overrightarrow x=\begin{pmatrix}0\\0\\2\end{pmatrix}+k\cdot\begin{pmatrix}1\\0\\ \frac{1}{2}\end{pmatrix}+l\cdot\begin{pmatrix}0\\1\\0\end{pmatrix}$$

Vorgehen am Beispiel 3

Ist in der Koordinatenform der Ebene kein \(x_3\) enthalten, formt man nach einer enthaltenen Koordinate um. Die nicht enthaltenen Koordinaten ergänzt man mit „⁣\(0\cdot Koordinate\)“.

• Koordinatenform der Ebene E

$$E:\ \ x_1+2=0$$

• ergänzen zu:

$$E:\ \ x_1+0x_2+0x_3+2=0$$

• Ebenengleichung nach \(x_1\) auflösen.

$$x_1=-2-0x_2-0x_3$$

• In der erhaltenen Gleichung \(x_2\) durch k und \(x_3\) durch l ersetzen

$$x_1=2+0\cdot k+0\cdot l$$$$x_2=k$$$$x_3=l$$

• \(x_1\), \(x_2\)  und  \(x_3\)  passend übereinander schreiben

$$\begin{array}{ccccccc}x_1&=&-2&+&0\cdot k&+&0\cdot l\\x_2&=&0&+&1\cdot k&+&0\cdot l\\x_3&=&0&+& 0 \cdot k&+&1\cdot l\end{array}$$

• Parameterform der Ebene E

$$E:\overrightarrow x=\begin{pmatrix}-2\\0\\0\end{pmatrix}+k\cdot\begin{pmatrix}0\\1\\ 0\end{pmatrix}+l\cdot\begin{pmatrix}0\\0\\1\end{pmatrix}$$