Ebene von Normalform in Koordinatenform umwandeln

Um eine Ebene in Normalform in die entsprechende Koordinatenform umzuwandeln, multipliziert man das vorliegende Skalarprodukt aus und fasst den erhaltenen Term zusammen.

Weitere Darstellungswechsel

• Parameterform nach Koordinatenform

• Parameterform nach Normalform

• Koordinatenform nach Parameterform

• Koordinatenform nach Normalform

• Normalform nach Parameterform

Vorgehen am Beispiel

Ausgehend von einer Ebene \(E\) in Normalform

$$E:\begin{pmatrix}1\\1\\-1\end{pmatrix}\circ\left[\begin{pmatrix}x_1\\x_2\\x_3\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}0\\0\\1\end{pmatrix}\right]=0$$

wird das Skalarprodukt mithilfe des Distributivgesetzes ausgeführt:

$$E:\begin{pmatrix}1\\1\\-1\end{pmatrix}\circ\begin{pmatrix}x_1\\x_2\\x_3\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}1\\1\\-1\end{pmatrix}\circ\begin{pmatrix}0\\0\\1\end{pmatrix}=0$$$$E:1\cdot x_1+1\cdot x_2+\left(-1\right)\cdot x_3-\left(1\cdot0+1\cdot0+\left(-1\right)\cdot1\right)=0$$

Zusammenfassen liefert die Koordinatenform der Ebene \(E\):

$$E:x_1+x_2-x_3+1=0$$