Bestimmtes Integral berechnen

Den Wert eines bestimmten Integrals über eine Funktion \(f\) berechnet man, indem man ihre Stammfunktion an den beiden Integrationsgrenzen auswertet und die Differenz der beiden bildet ("obere Grenze minus untere Grenze"). Die Konstante \(C\), die in der allgemeinen Stammfunktion steht, fällt hierbei weg (hebt sich auf).

Allgemeine Berechnung

Die zur Berechnung eines bestimmten Integrals benötigte Formel lautet:

$$\int_a^bf\left(x\right)\mathrm{dx}=F(b)-F(a)$$

wobei \(F\) Stammfunktion von \(f\) ist.

Für den Term  \(F\left(b\right)-F\left(a\right)\) werden folgende abkürzende Schreibweisen verwendet:

• \(F\left(b\right)-F\left(a\right)=\big|_a^bF(x)\)
• \(F\left(b\right)-F\left(a\right)=\)\(\big[ F(x)\big]_a^b\)
• \(F\left(b\right)-F\left(a\right)=F(x) \big|_a^b\)

Artikel zum Berechnen der Stammfunktion

Artikel zum Thema

Wichtige Rechenregeln

Obere Grenze = Untere Grenze

$$\int_ a^ a f( x)\mathrm{d}x=0$$

Umkehren der Grenzen

$$\int_a^bf(x)\mathrm{d}x\;\;=\;\;-\int_b^af(x)\mathrm{d}x$$

Additivitätseigenschaft

$$\int_a^bf(x)\mathrm{d}x\;+\int_b^cf(x)\mathrm{d}x\;\;=\;\;\int_a^cf(x)\mathrm{d}x$$

1. Linearitätseigenschaft

$$\int_a^bc\cdot f(x)\mathrm{d}x\;\;=\;\;c\cdot\int_a^bf(x)\mathrm{d}x$$

2. Linearitätseigenschaft

$$\int_a^b\lbrack f(x)-g(x)\rbrack\mathrm{d}x\;\;=\;\;\int_a^bf(x)\mathrm{d}x\;-\int_a^bg(x)\mathrm{d}x$$

Monotonieeigenschaft

für alle \(\;x\in\left[a;b\right]:\)

Punktsymmetrische Funktionen

Für eine zum Ursprung punktsymmetrische Funktion \(f\):

$$\int_{- a}^ a f\left( x\right)\operatorname{d} x=0$$

Achsensymmetrische Funktionen

Für eine zur \(y\)-Achse achsensymmetrische Funktion \(f\):

$$\int_{- a}^ a f\left( x\right)\operatorname{d} x=2\int_0^ a f\left( x\right)\operatorname{d} x$$

Betrag eines Integrals

$$\left|\int_ a^ b f( x)\operatorname{d} x\right|\;\leq\;\int_ a^ b\left| f( x)\right|\operatorname{d} x$$

Vereinfachungen von Aufgaben mittels Eigenschaften des Integrals