Quadrat

Ein Quadrat ist

• ein Rechteck, in dem
• alle Seiten gleich lang sind.

Fläche und Umfang des Quadrats

Fläche

Die Fläche eines Quadrats ist das Quadrat der Seitenlänge:

$$A_{\text{Quadrat}}=a^2$$

Umfang

Der Umfang eines Quadrats ist die Summe der Seitenlängen. Da alle Seiten die gleiche Länge haben, ist der Umfang gegeben durch

$$U_{\text{Quadrat}}=4\cdot a$$

Eigenschaften des Quadrats

Besonderheiten bei Seiten, Winkeln und Diagonalen

In einem Quadrat

• sind alle vier Seiten gleich lang.

\(\overline{AB}=\overline{BC}=\overline{CD}=\overline{DA}\)

In einem Quadrat

• betragen alle Winkel 90°

\(\alpha=\beta=\gamma=\delta=90°\)

In einem Quadrat

• sind die Diagonalen gleich lang

$$\overline{AC}=\overline{BD}$$

• halbieren sich die Diagonalen gegenseitig

$$\overline{MA}=\overline{MB}=\overline{MC}=\overline{MD}$$

• schneiden sich die Diagonalen in 90° Winkeln

$$\sphericalangle AMB = \sphericalangle BMC = \sphericalangle CMD = \sphericalangle DMA = 90°$$

Einordnung als Viereck

• Jedes Quadrat ist auch ein Rechteck, nämlich eines mit lauter gleich langen Seiten.
• Jedes Quadrat ist auch eine Raute, nämlich eine mit vier rechten Winkeln.
• Jedes Quadrat ist außerdem auch ein Parallelogramm, ein symmetrisches Trapez und ein Drachenviereck.

Eine ausführliche Übersicht über alle Eigenschaften und die Beziehung des Quadrats zu anderen Vierecken findest du im Haus der Vierecke.

Symmetrieeigenschaften

Punktsymmetrie

Jedes Quadrat ist punktsymmetrisch zum Schnittpunkt seiner Diagonalen.

Achsensymmetrie

Jedes Quadrat ist achsensymmetrisch und hat vier Symmetrieachsen, nämlich

• die beiden Diagonalen
• die beiden Mittelsenkrechten der Seiten.

Umkreis und Inkreis

Jedes Quadrat hat sowohl einen Umkreis, als auch einen Inkreis.

Umkreis: Der Radius des Umkreises eines Quadrates entspricht der Länge einer halben Diagonalen. Der Schnittpunkt der beiden Diagonalen ist der Mittelpunkt des Umkreises.

Inkreis: Der Radius des Inkreises eines Quadrates entspricht der halben Seitenlänge. Der Schnittpunkt der beiden Diagonalen ist der Mittelpunkt des Inkreises.