ln-Funktion
Erklärung von Serlo Education e. V., lizenziert unter CC BY-SA 4.0 – Original bei Serlo, CC BY-SA 4.0, übernommen am 2026-09-03.
Die Logarithmusfunktion mit der Basis \(e\), der Eulerschen Zahl, wird natürlicher Logarithmus oder auch \(\ln\)-Funktion genannt. Ihre Funktionsvorschrift ist:
$$f:\mathbb{R}^+\to\mathbb{R}, x\mapsto \ln(x)$$
Dabei bezeichnet \(\ln(x)\) den Logarithmus zur Basis \(e\), also \(\ln(x)=\log_e(x)\).
Eigenschaften
Die \(\ln\)-Funktion hat die gleichen Eigenschaften wie Logarithmusfunktionen zu beliebigen Basen. Weil \(e\approx2,718>1\) ist sie monoton steigend.
Graph der \(\ln\)-Funktion:
Beziehung zu anderen Funktionen
Umkehrfunktion
Die Umkehrfunktion der \(\ln\)-Funktion ist die \(e\)-Funktion. Für \(f(x)=\ln(x)\) gilt also:
$$f^{-1}(x)=e^x\quad\Rightarrow\quad e^{\ln(x)}=x=\ln(e^x)$$
Ableitung
Die Ableitung von \(f(x)=\ln(x)\), ist gegeben durch:
$$f'(x)=\frac1x$$
Stammfunktion
Das erste Integral bzw. eine Stammfunktion zu \(f(x)=\ln(x)\) lautet:
$$F(x)=x\cdot\ln(x)-x$$
Zur Herleitung bzw. Berechnung der Stammfunktion siehe den Artikel Partielle Integration.
Beliebige Logarithmusfunktion als ln-Funktion
Einen Logarithmus \(log_a(x)\) zu einer beliebigen Basis \(a\) (mit \(a\in \mathbb{R}^+\), \(a\ne1\)), kannst du über folgende Formel in eine ln-Funktion überführen:
$$\log_a(x)=\frac{\ln(x)}{\ln(a)}$$