Die Vierfeldertafel

Die Vierfeldertafel ist ein Hilfsmittel in der Stochastik, um Zusammenhänge zwischen zwei Ereignissen darzustellen.

An ihr kann man neue Informationen (zum Beispiel Wahrscheinlichkeiten, oder absolute Häufigkeiten) ablesen.

Die Vierfeldertafel hilft auch, die Unabhängigkeit von Ereignissen zu untersuchen.

Allgemeine Form

Im Folgenden werden die Einträge der Vierfeldertafel erklärt. Die Buchstaben \(\text{A}\) und \(\text{B}\) bezeichnen dabei zwei Ereignisse (man hätte aber genauso gut andere Buchstaben nehmen können). \(\overline{\text{A}}\) und \(\overline{\text{B}}\) stehen für ihre Gegenereignisse.

Beschriftung

\(\begin{array}{c|c|c|c}\ & \mathrm{A} & \mathrm{\overline A} & \ \\\hline\mathrm{B} & & & \\\hline\mathrm{\overline B} & \hphantom{\mathrm{P(A\cap \overline B})} & \hphantom{\mathrm{P(\overline A\cap \overline B})} & \hphantom{\mathrm{P(\overline B})} \\\hline\ & & & \end{array}\)

Egal, ob man Wahrscheinlichkeiten oder absolute Häufigkeiten beschreiben will, stehen

• in der ersten Zeile die Symbole für das Ereignis \(\text{A}\) und sein Gegenereignis \(\mathrm{\overline A}\).
• in der ersten Spalte die Symbole für das Ereignis \(\text{B}\) und sein Gegenereignis \(\mathrm{\overline B}\).

Fall 1: Vierfeldertafel mit Wahrscheinlichkeiten

Äußere Felder

\(\begin{array}{c|c|c|c}\ & \mathrm{A} & \mathrm{\overline A} & \ \\\hline\mathrm{B} & & & \\\hline\mathrm{\overline B} & \hphantom{\mathrm{P(A\cap \overline B})} & \hphantom{\mathrm{P(\overline A\cap \overline B})} & \\\hline\ & \color{red}{P(A)} & \color{red}{P(\overline{A})} & \end{array}\)

• In der letzten Zeile der \(\text{A}\)-Spalte steht die Wahrscheinlichkeit für das Ereignis \(\text{A}\). Man bezeichnet diese mit \(P(A)\)

• In der letzten Zeile der \(\overline{A}\)-Spalte steht die Wahrscheinlichkeit für das Ereignis \(\overline{\text{A}}\). Diese wird mit \(P(\overline{A})\) bezeichnet.

\(\begin{array}{c|c|c|c}\ & \mathrm{A} & \mathrm{\overline A} & \ \\\hline\mathrm{B} & & & \color{red}{P(B)}\\\hline\mathrm{\overline B} & \hphantom{\mathrm{P(A\cap \overline B})} & \hphantom{\mathrm{P(\overline A\cap \overline B})} & \color{red}{P(\overline{B})} \\\hline\ & & & \end{array}\)

• In der letzten Spalte der \(\text{B}\)-Zeile steht die Wahrscheinlichkeit \(P(B)\) für das Ereignis \(\text{B}\).

• In der letzten Spalte der \(\overline{\text{B}}\)-Zeile steht die Wahrscheinlichkeit \(P(\overline{B})\) für das Ereignis \(\overline{\text{B}}\).

\(\begin{array}{c|c|c|c}\ & \mathrm{A} & \mathrm{\overline A} & \ \\\hline\mathrm{B} & & & \\\hline\mathrm{\overline B} & \hphantom{\mathrm{P(A\cap \overline B})} & \hphantom{\mathrm{P(\overline A\cap \overline B})} & \\\hline\ & & & \color{red}{1}\end{array}\)

• Da die Ereignisse \(\text{A}\) und \(\overline{\text{A}}\) Gegenereignisse sind, müssen sich ihre Wahrscheinlichkeiten zu \(1\) addieren.

• Dasselbe gilt für \(\text{B}\) und \(\overline{\text{B}}\).

Daher ist der Eintrag rechts unten in der Vierfeldertafel immer eine 1.

Innere vier Felder

\(\begin{array}{c|c|c|c}\ & \mathrm{A} & \mathrm{\overline A} & \ \\\hline\mathrm{B} & \color{red}{\mathrm{P(A\cap B})} & \color{red}{\mathrm{P(\overline A\cap B})} & \mathrm{P(B)} \\\hline\mathrm{\overline B} & \color{red}{\mathrm{P(A\cap \overline B})} & \color{red}{\mathrm{P(\overline A\cap \overline B})} & \mathrm{P(\overline B}) \\\hline\ & \mathrm{P(A)} & \mathrm{P(\overline A)} & 1 \end{array}\)

• In den restlichen vier Feldern notiert man die Wahrscheinlichkeiten der Schnittmengen der Ereignisse \(\text{A}\cap\text{B}\), \(\overline{\text{A}}\cap\text{B}\), \(\text{A}\cap\overline{\text{B}}\), \(\overline{\text{A}}\cap\overline{\text{B}}\).

• Dabei ist die letzte Wahrscheinlichkeit in einer Zeile die Summe der anderen beiden. Zum Beispiel \(\mathrm{P(B)} = \mathrm{P(\text{A}\cap\text{B})}+ \mathrm{P(\overline{\text{A}}\cap\text{B})}.\)

• Dasselbe gilt für die letzte Wahrscheinlichkeit einer Spalte. Zum Beispiel \(\mathrm{P(\overline{A})} = \mathrm{P(\overline{\text{A}}\cap\text{B})}+ \mathrm{P(\overline{\text{A}}\cap\overline{\text{B}})}.\)

Fall 2: Vierfeldertafel mit absoluten Häufigkeiten

Äußere Felder

\(\begin{array}{c|c|c|c}\ & \mathrm{A} & \mathrm{\overline A} & \ \\\hline\mathrm{B} & & & \\\hline\mathrm{\overline B} & \hphantom{\mathrm{P(A\cap \overline B})} & \hphantom{\mathrm{P(\overline A\cap \overline B})} & \\\hline\ & \color{red}{H(A)} & \color{red}{H(\overline{A})} & \end{array}\)

• In der letzten Zeile der \(\text{A}\)-Spalte steht die absolute Häufigkeit für das Ereignis \(\text{A}\). Man bezeichnet diese mit \(H(A)\)

• In der letzten Zeile der \(\overline{A}\)-Spalte steht die absolute Häufigkeit für das Ereignis \(\overline{\text{A}}\). Diese wird mit \(H(\overline{A})\) bezeichnet.

\(\begin{array}{c|c|c|c}\ & \mathrm{A} & \mathrm{\overline A} & \ \\\hline\mathrm{B} & & & \color{red}{H(B)}\\\hline\mathrm{\overline B} & \hphantom{\mathrm{P(A\cap \overline B})} & \hphantom{\mathrm{P(\overline A\cap \overline B})} & \color{red}{H(\overline{B})} \\\hline\ & & & \end{array}\)

• In der letzten Spalte der \(\text{B}\)-Zeile steht die absolute Häufigkeit \(H(B)\) für das Ereignis \(\text{B}\).

• In der letzten Spalte der \(\overline{\text{B}}\)-Zeile steht die absolute Häufigkeit \(H(\overline{B})\) für das Ereignis \(\overline{\text{B}}\).

\(\begin{array}{c|c|c|c}\ & \mathrm{A} & \mathrm{\overline A} & \ \\\hline\mathrm{B} & & & \\\hline\mathrm{\overline B} & \hphantom{\mathrm{P(A\cap \overline B})} & \hphantom{\mathrm{P(\overline A\cap \overline B})} & \\\hline\ & & & \color{red}{G}\end{array}\)

Der Eintrag unten rechts einer Vierfeldertafel mit absoluten Häufigkeiten ist die Gesamtzahl \(G\) an Versuchen, oder an untersuchten Objekten.

Auch hier gilt, dass sich

• die absoluten Häufigkeiten von \(A\) und \(\overline{A}\) zu \(G\) addieren, sowie auch

• die absoluten Häufigkeiten von \(B\) und \(\overline{B}\).

Innere vier Felder

\(\begin{array}{c|c|c|c}\ & \mathrm{A} & \mathrm{\overline A} & \ \\\hline\mathrm{B} & \color{red}{\mathrm{H(A\cap B})} & \color{red}{\mathrm{H(\overline A\cap B})} & \mathrm{H(B)} \\\hline\mathrm{\overline B} & \color{red}{\mathrm{H(A\cap \overline B})} & \color{red}{\mathrm{H(\overline A\cap \overline B})} & \mathrm{H(\overline B}) \\\hline\ & \mathrm{H(A)} & \mathrm{H(\overline A)} & G \end{array}\)

• In diese vier Felder notiert man die absoluten Häufigkeiten der Schnittmengen der Ereignisse \(\text{A}\cap\text{B}\), \(\overline{\text{A}}\cap\text{B}\), \(\text{A}\cap\overline{\text{B}}\), \(\overline{\text{A}}\cap\overline{\text{B}}\).

• Dabei ist die letzte absolute Häufigkeit in einer Zeile die Summe der anderen beiden. Zum Beispiel \(\mathrm{H(B)} = \mathrm{H(\text{A}\cap\text{B})}+ \mathrm{H(\overline{\text{A}}\cap\text{B})}.\)

• Dasselbe gilt für die letzte absolute Häufigkeit einer Spalte. Zum Beispiel \(\mathrm{H(\overline{A})} = \mathrm{H(\overline{\text{A}}\cap\text{B})}+ \mathrm{H(\overline{\text{A}}\cap\overline{\text{B}})}.\)

Eigenschaften und Rechenregeln

Fall 1: Vierfeldertafel mit Wahrscheinlichkeiten

Wie man oben bereits gesehen hat, gilt:

• Jede Wahrscheinlichkeit in der untersten Zeile ist die Summe der beiden Wahrscheinlichkeiten darüber.

• Jede Wahrscheinlichkeit in der letzten Spalte ist die Summe der beiden Wahrscheinlichkeiten links davon.

• Die letzte Zeile und die letzte Spalte müssen jeweils in der Summe 1 ergeben.

Fall 2: Vierfeldertafel mit absoluten Häufigkeiten

Wie man oben bereits gesehen hat, gilt:

• Jede absolute Häufigkeit in der untersten Zeile ist die Summe der beiden absoluten Häufigkeiten darüber.

• Jede absolute Häufigkeit in der letzten Spalte ist die Summe der beiden absoluten Häufigkeiten links davon.

• Die letzte Zeile und die letzte Spalte müssen jeweils in der Summe \(G\) ergeben.

Bemerkung: Statt Wahrscheinlichkeiten und absoluten Häufigkeiten kann man auch die Prozentwerte der jeweiligen Ereignisse in eine Vierfeldertafel eintragen. In solchen Fällen kommt nicht mehr \(1\) oder \(G\) als Summe heraus, sondern \(100\%\).

Zusammenhang zur bedingten Wahrscheinlichkeit

• Man kann mithilfe der Werte aus der Vierfeldertafel bedingte Wahrscheinlichkeiten berechnen.

• Umgekehrt kann man auch durch die Angabe der bedingten Wahrscheinlichkeit Werte für die Vierfeldertafel berechnen.

• Dafür muss die Vierfeldertafel Wahrscheinlichkeiten beinhalten.

\(\dfrac{P(A\cap B)}{P(B)}=P_B(A)\)

\(P(A\cap B)=P_B(A)\cdot P(B)\)

Zusammenhang zur Unabhängigkeit von Ereignissen

Will man untersuchen, ob zwei Ereignisse stochastisch unabhängig sind, so kann man dies mithilfe einer Vierfeldertafel ganz schnell überprüfen.

Man muss dafür nur folgendes prüfen:

• ist \(P(A\cap B) = P(A)\cdot P(B)\) ?

• ist \(P(A\cap \overline{B}) = P(A)\cdot P(\overline{B})\) ?

• ist \(P(\overline{A}\cap B) = P(\overline{A})\cdot P(B)\) ?

• ist \(P(\overline{A}\cap \overline{B}) = P(\overline{A})\cdot P(\overline{B})\) ?

Das hier sind genau die Wahrscheinlichkeiten der inneren vier Felder der Tafel! (daher auch der Name.)

Wenn (mindestens) eine dieser Gleichungen verletzt ist, sind \(A\) und \(B\) stochastisch abhängig. Sonst sind sie stochastisch unabhängig.

Beispiele

Aufgabe

Die 16 Jungen und 14 Mädchen einer Schulklasse nehmen an einem Mathematik-Test teil. 13 Jungen bestehen. Insgesamt bestehen 20 Schüler den Test. Mit welcher Wahrscheinlichkeit hat ein Schüler den Test nicht bestanden und ist gleichzeitig ein Mädchen?

Lösung

Die beiden Ereignisse sind

• \(\text{J} =\) "Schüler ist ein Junge" und
• \(\text{B} =\) "Test bestanden"

mit Gegenereignissen \(\overline{\text{J}}\) für "nicht Junge" (= Mädchen) und \(\overline{\text{B}}\) für "Test nicht bestanden".

Aus dem Text lassen sich die Wahrscheinlichkeiten \(P\left(J\cap B\right)\), \(P\left(B\right)\), \(P\left(J\right)\) sowie \(P(\overline{B})\) bestimmen.

Insgesamt befinden sich 30 SchülerInnen in der Klasse. Die Wahrscheinlichkeit für jedes Ereignis ist dessen relative Häufigkeit.

Die zugehörige Vierfeldertafel wird nun aufgestellt:

Zuerst fertigt man eine Vierfeldertafel an, beschriftet Zeilen und Spalten und trägt die Wahrscheinlichkeiten aus dem Text ein.

\(\begin{array}{c|c|c|c}\ & \mathrm{J} & \overline{\text{J}} & \ \\\hline\mathrm{B} & \frac{13}{30} & \ & \frac{20}{30} \\\hline\mathrm{\overline B} &\vphantom{\dfrac{1}{2}} \ & \ & \ \\\hline\ & \frac{16}{30} & \frac{14}{30} & 1 \end{array}\)

Um die fehlenden Werte zu bestimmen, benutzt man die Eigenschaften und Rechenregeln von oben.

Den fehlenden Wert in der zweiten Zeile zum Beispiel wird berechnet als: \(\dfrac{20}{30}-\dfrac{13}{30}=\dfrac{7}{30}\)

Die Werte in der dritten Zeile ergeben sich dann durch ähnliche Rechnungen.

\(\begin{array}{c|c|c|c}\ & \mathrm{J} & \overline{\text J} & \ \\\hline\mathrm{B} & \frac{13}{30} & \frac{7}{30} & \frac{2}{3} \\\hline\mathrm{\overline B} & \frac{1}{10} & \frac{7}{30} & \frac13 \\\hline\ & \frac{8}{15} & \frac{7}{15} & 1 \end{array}\)

Daraus lässt sich leicht die Wahrscheinlichkeit  \(P(\)nicht bestanden und nicht Junge\()\) \(=P(\overline B\cap \overline J)=\frac7{30}\)  (3. Zeile, 3. Spalte) ermitteln. Diese ist die gesuchte Lösung.

Video zur Vierfeldertafel