Relative Häufigkeit und Gesetz der großen Zahlen

Während die absolute Häufigkeit angibt, wie oft ein bestimmtes Ereignis eintritt (Anzahl), beschreibt die relative Häufigkeit, wie groß der Anteil der absoluten Häufigkeit an der Gesamtzahl der Versuche ist.

Man berechnet die relative Häufigkeit daher folgendermaßen:

$$\text{relative Häufigkeit} \ h_n =\frac{\text{absolute Häufigkeit} \ H_n}{\text{Anzahl der Versuche} \ n}$$

Die relative Häufigkeit kann man als Schätzwert für die Wahrscheinlichkeit verwenden, wenn die Gesamtzahl der Versuche ausreichend groß ist.

Beispiel

Ein Würfel wird 20-mal geworfen und fünfmal erscheint die 3. Damit ist die absolute Häufigkeit des Ereignisses „Es fällt eine 3“ gleich 5.

Die relative Häufigkeit ist gleich der absoluten Häufigkeit geteilt durch die Anzahl der Versuche:

\(\frac5{20}=0{,}25=25\,\% \)

Eigenschaften und Rechenregeln

Wenn man zwei Ereignisse eines Zufallsexperiments betrachtet, kann man die relativen Häufigkeiten in einer Vierfeldertafel darstellen.

Für die folgenden Eigenschaften seien \(A\) und \(B\) Ereignisse, z. B. bestimmte Augenzahlen beim Würfeln.

• \(0 \le h_n(A) \le 1\), d. h., die relative Häufigkeit hat nur Werte zwischen 0 und 1.

• \(h_n(\mathit\Omega) = 1\) für das sogenannte sichere Ereignis.

• \(h_n(A \cup B) = h_n(A) + h_n(B) - h_n(A \cap B)\) für die Summe von Ereignissen.

• \(h_n(\bar{A})= 1 - h_n(A)\) für das Gegenereignis.

Beziehung zur Wahrscheinlichkeit

Wenn ein Zufallsexperiment nur sehr wenige Male durchgeführt wird, ist die relative Häufigkeit oft nicht sehr aussagekräftig, denn ihr Wert ist sehr vom Zufall beeinflusst.

Besonders zu Beginn einer Reihe von Versuchsdurchführungen kann sie zudem starken Schwankungen unterliegen.

Die Erfahrung zeigt aber, dass sich bei sehr vielen Durchführungen die relative Häufigkeit eines Ereignisses im Normalfall immer irgendwann auf einen bestimmten Wert stabilisiert.

Den Wert, auf den sich die relative Häufigkeit annähert, verwendet man auch als Schätzwert für die Wahrscheinlichkeit. Auf diese Weise kann man Werte für Wahrscheinlichkeiten, die man nicht theoretisch berechnen kann, experimentell aus Daten ermitteln.

Voraussetzung ist dabei stets, dass die Versuchsreihen, aus denen die relativen Häufigkeiten berechnet werden, lang genug sind, bzw. dass das Experiment oft genug wiederholt wurde.

Bemerkung: Für die Wiederholung eines Experiments benutzt man oft den Computer, denn er kann viel schneller ein Experiment wie zum Beispiel das Werfen eines Würfels simulieren, als es ein Mensch in der Realität ausführen könnte.

Video zum Thema „Relative Häufigkeit“