Pfadregeln im Baumdiagramm
- Wann multipliziert man entlang eines Pfades, wann addiert man Pfade?
- Warum ist die Summe aller Pfadwahrscheinlichkeiten 1?
Baumdiagramm und Pfadregeln
Das Baumdiagramm ist ein praktisches Hilfsmittel, um die verschiedenen möglichen Ergebnisse eines Zufallsexperiments übersichtlich aufzuschreiben.
Verwendet wird es sinnvollerweise dann, wenn ein Experiment aus mehreren Schritten besteht (wie zum Beispiel das Werfen einer Münze und danach eines Würfels, oder das mehrmalige Werfen einer Münze o.ä.).
Bei einem solchen mehrstufigen (oder zusammengesetzten) Zufallsexperiment kann man mit einem Baumdiagramm
- die Ergebnisse des zusammengesetzten Experiments
- und die Wahrscheinlichkeiten dieser Ergebnisse
aus den Ergebnissen bzw. Wahrscheinlichkeitsverteilungen der Einzelexperimente ermitteln.
Vom Zufallsexperiment zum Baumdiagramm
Oft ist es nicht so einfach, von einer Sachsituation zu einem Baumdiagramm zu kommen. Deshalb hier ein paar Tipps:
Überlege dir, was die Stufen in deinem Baum sind und was die Ereignisausprägungen.
Die Stufen sind zum Beispiel aufeinanderfolgende Handlungen (1./2./3. Würfelwurf, mehrmals Ziehen,…) oder Entscheidungen (erst wählt man eine Tür, dann eine Kiste,…).
Die Ereignisausprägungen sind die verschiedenen Möglichkeiten, die sich gegenseitig ausschließen (Augenzahlen beim Würfel, Kugelfarben, Antwortmöglichkeiten bei Fragen,…)
Pfad
Der Pfad im Baum entspricht einem Weg durch den Baum. Dabei startet man immer ganz oben am Start und geht (bis auf wenige Ausnahmen) auch bis zur untersten Stufe.
Würfelt man zum Beispiel dreimal, dann entspricht jedes mögliche Ergebnis (zum Beispiel 123, 541,…) einem Pfad.
Im Artikel Abzählen mit dem Baumdiagramm kann man nachlesen, wie ein Baumdiagramm verwendet werden kann, um die Anzahl der verschiedenen Ergebnisse zu bekommen. Möchte man mehr über die Wahrscheinlichkeiten wissen, so benötigt man oft die Pfadregeln.
Video zum Baumdiagramm und zu den Pfadregeln
Erklärung von Serlo Education e. V., lizenziert unter CC BY-SA 4.0 – Original bei Serlo, CC BY-SA 4.0, übernommen am 2026-09-03.
Schlau Fassung
Die Pfadregeln
- Erste Pfadregel (Produktregel): Die Wahrscheinlichkeit eines Pfades ist das Produkt der Wahrscheinlichkeiten entlang seiner Äste.
- Zweite Pfadregel (Summenregel): Die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses ist die Summe der Wahrscheinlichkeiten aller Pfade, die dazu gehören.
- An den Verzweigungen stehen bedingte Wahrscheinlichkeiten. Der zweite Ast gilt unter der Bedingung, dass der erste eingetreten ist – das ist der Grund, warum Baumdiagramme und bedingte Wahrscheinlichkeit dasselbe Thema sind.
- Zwei Kontrollen: Die Wahrscheinlichkeiten an jeder Verzweigung müssen zusammen 1 ergeben, und die Summe aller vollständigen Pfade ebenfalls. Stimmt das nicht, ist der Baum falsch beschriftet.
- Der Gegenereignis-Trick: Bei „mindestens einmal“ ist es fast immer kürzer, \(1 - P(\text{keinmal})\) zu rechnen – ein Pfad statt vieler.
Aufgaben
- Zweimal Würfeln: Wie wahrscheinlich sind zwei Sechsen?
Lösung
\(\frac{1}{6}\cdot\frac{1}{6} = \frac{1}{36}\). - Wie wahrscheinlich ist bei zwei Würfen mindestens eine Sechs?
Lösung
\(1 - \left(\frac{5}{6}\right)^2 = \frac{11}{36}\). - Warum ergeben alle Pfade zusammen 1?
Lösung
Sie decken alle möglichen Ausgänge vollständig und überschneidungsfrei ab.
Weiterführende Aufgaben
- Zeichnet ein dreistufiges Baumdiagramm zum Ziehen ohne Zurücklegen aus einer Urne mit 3 roten und 2 blauen Kugeln und prüft beide Kontrollen.