Was bedingte Wahrscheinlichkeit bedeutet
- Wieso wird der Ergebnisraum durch eine Bedingung kleiner?
- Wie liest man den Strich in \(P(A|B)\)?
Einführendes Beispiel zur bedingten Wahrscheinlichkeit
In diesem Beispiel lernst du die ersten wichtigen Begriffe zum Thema kennen.
In einer Pralinenschachtel befinden sich 20 Pralinen.
12 Pralinen haben einen braunen Schokoladenüberzug, 8 einen aus weißer Schokolade.
Auf der Rückseite der Packung steht, dass 11 Pralinen eine Nougatfüllung haben, 8 der braunen Pralinen und 3 der Pralinen mit weißer Schokolade.
Tom darf ohne hinzusehen eine Praline nehmen.
Dann kannst du diese Fragen stellen:
a) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass er eine mit braunem Überzug zieht?
Diese Wahrscheinlichkeit dieses Laplace-Experiments berechnest du als
$$P(\text{braun})=\frac{12}{20}$$b) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass er eine mit Nougatfüllung zieht? Die Rechnung ist
$$P(\text{Nougat})=\frac{11}{20}$$c) Tom nimmt eine Praline und sieht, dass sie weiß ist. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass er eine Praline mit Nougatfüllung hat?
Diesmal ist die Wahrscheinlichkeit
$$P_\text{w}(\text{Nougat})=\frac{3}{8}$$Erklärung: Die Wahrscheinlichkeit von \(P_\text{w}(\text{Nougat})=\frac{3}{8}\) ist eine andere als die
Wahrscheinlichkeit \(P(\text{Nougat})=\frac{11}{20}\).
Bei der Berechnung von \(P(\text{Nougat}) \) weiß Tom nichts über die Praline, die er zieht.
Bei der Berechnung von \(P_\text{w}(\text{Nougat})\) weiß Tom schon, dass er eine mit weißer Schokolade gezogen hat.
Es ist bereits eine „Bedingung“ (weiße Praline) bekannt.
Definition: \(P_B( A) \) ist die Wahrscheinlichkeit, dass \(A\) eintritt, wenn bereits bekannt ist, dass \(B\) eingetreten ist.
Eine andere Schreibweise ist auch \(P(A|B)\) .
In unserem Beispiel ist \( P_\text{w} (\text{Nougat} ) \) die Wahrscheinlichkeit, dass eine Praline mit Nougat gezogen wurde, wenn ich bereits weiß, dass sie weiß ist.
Man kann sich den Unterschied auch an einem Baumdiagramm deutlich machen:
mit der zweiten Pfadregel kann man \(P(\text{Nougat})\) berechen:
$$P(\text{Nougat})=\frac{12}{20}\cdot\frac{8}{12}+\frac{8}{20}\cdot\frac{3}{8}=\frac{11}{20}$$Die Wahrscheinlichkeit \(P_\text{w} (\text{Nougat} )\) kann man direkt im Baumdiagramm ablesen:
$$P_\text{w} (\text{Nougat} )=\frac{3}{8}$$Erklärung von Serlo Education e. V., lizenziert unter CC BY-SA 4.0 – Original bei Serlo, CC BY-SA 4.0, übernommen am 2026-09-03.
Schlau Fassung
Was bedingte Wahrscheinlichkeit bedeutet
- Der Strich bedeutet „gegeben“, nicht „geteilt“. \(P(A|B)\) liest man „Wahrscheinlichkeit von \(A\), gegeben \(B\)“.
- Was geschieht: Die Information „\(B\) ist eingetreten“ streicht alle Ergebnisse außerhalb von \(B\). Übrig bleibt ein kleinerer Ergebnisraum, und darin wird neu gerechnet.
- Deshalb der Nenner \(P(B)\): Er normiert den verkleinerten Raum wieder auf die Gesamtwahrscheinlichkeit 1.
- Ein Alltagsbeispiel: In einer Klasse mit 30 Kindern spielen 12 Fußball, davon sind 5 Mädchen; insgesamt sind 14 Mädchen in der Klasse. \(P(\text{Mädchen}|\text{Fußball}) = \frac{5}{12}\), aber \(P(\text{Fußball}|\text{Mädchen}) = \frac{5}{14}\). Zwei Fragen, zwei Antworten.
- Merksatz: Was hinter dem Strich steht, ist die neue Grundgesamtheit – und steht deshalb im Nenner.
Aufgaben
- Wie liest man \(P(A|B)\)?
Lösung
„Wahrscheinlichkeit von \(A\) unter der Bedingung \(B\)“. - Berechne im Klassenbeispiel \(P(\text{Fußball}|\text{Mädchen})\).
Lösung
\(\frac{5}{14}\). - Warum steht \(P(B)\) im Nenner?
Lösung
\(B\) ist die neue Grundgesamtheit und muss auf 1 normiert werden.
Weiterführende Aufgaben
- Erhebt in eurer Klasse zwei Merkmale (etwa Sportart und Schulweg) und berechnet beide Richtungen der bedingten Wahrscheinlichkeit.