Unabhängigkeit prüfen

Unabhängigkeit prüfen

• Definition: \(A\) und \(B\) sind stochastisch unabhängig, wenn \(P(A\cap B) = P(A)\cdot P(B)\) gilt. Gleichwertig: \(P(A|B) = P(A)\).
• Das Prüfverfahren: Man berechnet beide Seiten getrennt und vergleicht. Stimmen sie überein, ist die Unabhängigkeit gezeigt; weicht auch nur ein Wert ab, besteht ein Zusammenhang.
• Nicht verwechseln mit „unvereinbar“. Unvereinbare Ereignisse können nicht zusammen eintreten (\(P(A\cap B) = 0\)) – das ist der stärkste denkbare Zusammenhang, nicht Unabhängigkeit. Wer weiß, dass \(A\) eintrat, weiß dann sicher, dass \(B\) nicht eintrat.
• Unabhängigkeit ist eine Rechenaussage, keine Ursache. Zwei Merkmale können abhängig sein, ohne dass eines das andere verursacht – ein gemeinsamer dritter Grund genügt.
• Warum es praktisch zählt: Nur bei Unabhängigkeit darf man Wahrscheinlichkeiten einfach multiplizieren. Genau diese Annahme steckt hinter jedem Bernoulli-Versuch und damit hinter der ganzen Binomialverteilung.

1. \(P(A)=0{,}4\), \(P(B)=0{,}5\), \(P(A\cap B)=0{,}2\). Unabhängig?
   Lösung

   \(0{,}4\cdot 0{,}5 = 0{,}2\) – ja, unabhängig.
2. Dieselben Randwerte, aber \(P(A\cap B)=0{,}3\). Unabhängig?
   Lösung

   Nein, \(0{,}3 \ne 0{,}2\).
3. Sind unvereinbare Ereignisse mit positiver Wahrscheinlichkeit unabhängig?
   Lösung

   Nein: \(P(A\cap B)=0\), aber \(P(A)\cdot P(B) > 0\).

1. Erhebt zwei Merkmale in der Klasse, stellt eine Vierfeldertafel auf und prüft rechnerisch, ob sie unabhängig sind. Diskutiert, ob ein Zusammenhang auch eine Ursache bedeutet.