Schnittmenge

Wenn \(A\) und \(B\) Mengen sind, dann ist die Schnittmenge von \(A\) und \(B\) die Menge aller Elemente, die sowohl in \(A\) als auch in \(B\) enthalten sind.

Man schreibt \(A\cap B\;\) für die Schnittmenge der Mengen \(A\) und \(B\).

Sprechweise: "Der Schnitt von \(A\) und \(B\)" oder "\(A\) geschnitten \(B\)".

Der " \(\cap\) " Operator gehört zu den Operatoren, die zwei oder mehrere Mengen verknüpft.

Beispiel

Gegeben sind die Mengen \(A\) und \(B\) mit

    \(A=\left\{2,3,\mathrm c,\mathrm d\right\}\)

    \(B=\left\{3,7,\mathrm{a},\mathrm{b},\mathrm{c}\right\}\)

Dann ist \(A\cap B=\left\{3,\mathrm c\right\}\) die Schnittmenge von\(A\) und \(B\).

Die nebenstehende Abbildung veranschaulicht das Beispiel mithilfe eines Venn-Diagramms.

Sonderfälle

Disjunkte Mengen

Wenn zwei Mengen keine Elemente gemeinsam haben, nennt man sie disjunkt. Die Schnittmenge disjunkter Mengen ist immer leer.

Beispiel:

\(A=\left\{\mathrm d,\mathrm e,\mathrm F\right\}\)

\(B=\left\{\mathrm a,\mathrm b,7\right\}\)

Dann sind \(A\) und \(B\) disjunkt.

Ihre Schnittmenge ist dann leer:

\(A\cap B= \{ \}\) oder \(A\cap B=\varnothing\) (leere Menge)

Paarweise Disjunkte Mengen

Schneidet man mehr als nur zwei Mengen, so sagt man , dass die Mengen paarweise disjunkt sind, falls je zwei Mengen disjunkt sind.

Beispiel 1

Gegeben sind \(A=\{1,2\}, \ B=\{3,4\}, \ C=\{5,6\}\), dann gilt:

\(A\cap B=\emptyset\)

\(A\cap C=\emptyset\)

\(B\cap C=\emptyset\)

und

\(A\cap B\cap C=\emptyset\).

Also sind \(A,B,C\) paarweise disjunkt.

Beispiel 2

Gegeben sind \(A=\{1,2\}, \ B=\{2,3\}, \ C=\{3,4\}\), dann gilt zwar

\(A\cap C=\emptyset\), also sind \(A,C\) disjunkt und somit auch \(A\cap B\cap C=\emptyset\), aber

\(A\cap B=\{2\}\),

\(B\cap C=\{3\}\).

\(A,B,C\) sind zwar disjunkt, aber nicht paarweise disjunkt.

Rechenregeln

Der "\(\cap\)" Operator ist:

• Kommutativ: \(A\cap B =B\cap A\) und
• Assoziativ: \((A\cap B) \cap C=A\cap (B\cap C)\) und
• verknüpft mit der Vereinigungsmenge auch distributiv:\((A\cup B)\cap C=(A\cap C)\cup(B\cap C)\) und\((A\cap B) \cup C=(A\cup C) \cap(B\cup C)\) und
• mit dem "\(\setminus\)" Operator gilt auch die De Morgansche Regel: \(A\setminus(B\cap C)=(A\setminus B)\cup(A\setminus C)\)