Zufallsgrößen & Erwartungswert
Stochastik
Klasse 9, 10
- Was ist der Unterschied zwischen einem Ergebnis und einer Zufallsgröße?
- Warum kann der Erwartungswert ein Wert sein, der nie eintritt?
- Wie beurteilt man mit ihm ein Spiel?
Themen in diesem Bereich
Schlau Fassung
Zufallsgrößen und Erwartungswert
- Eine Zufallsgröße \(X\) ordnet jedem Ergebnis eine Zahl zu. Beim Wurf zweier Würfel ist das Ergebnis ein Zahlenpaar, die Zufallsgröße „Augensumme“ macht daraus eine einzige Zahl zwischen 2 und 12.
- Die Wahrscheinlichkeitsverteilung listet zu jedem möglichen Wert seine Wahrscheinlichkeit. Ihre Summe ist immer 1 – das ist zugleich die beste Rechenkontrolle.
- Der Erwartungswert ist der auf lange Sicht zu erwartende Durchschnitt: \(E(X) = \sum x_i \cdot P(X = x_i)\). Jeder Wert wird mit seiner Wahrscheinlichkeit gewichtet.
- Er muss kein möglicher Wert sein. Beim Würfel ist \(E(X) = 3{,}5\), obwohl niemand je 3,5 würfelt. Der Erwartungswert beschreibt den Durchschnitt vieler Versuche, nicht ein einzelnes Ergebnis.
- Ein Spiel heißt fair, wenn der erwartete Gewinn null ist. Bei Lotterien und Spielbanken ist er systematisch negativ – genau daraus entsteht der Gewinn des Anbieters.
Aufgaben
- Berechne den Erwartungswert der Augenzahl eines Würfels.
Lösung
\(\frac{1+2+3+4+5+6}{6} = 3{,}5\). - Warum ist 3,5 kein möglicher Wurf?
Lösung
Der Erwartungswert ist ein gewichteter Durchschnitt, kein Ergebnis des Einzelversuchs. - Wann ist ein Spiel fair?
Lösung
Wenn der Erwartungswert des Gewinns null ist.
Weiterführende Aufgaben
- Untersucht ein echtes Glücksspiel (Rubbellos, Lotterie) und berechnet den Erwartungswert je eingesetztem Euro.