Wahrscheinlichkeitsverteilung aufstellen

Stochastik Klasse 10

Wie geht man beim Aufstellen einer Verteilung systematisch vor?
Woran erkennt man einen Fehler in der Tabelle?

Wahrscheinlichkeitsverteilung

Eine Wahrscheinlichkeitsverteilung ist eine Funktion, die den Ergebnissen eines Zufallsexperimentes ihre Wahrscheinlichkeiten zuordnet.

Jede Wahrscheinlichkeitsverteilung erfüllt die drei Axiome von Kolmogorow:

\(P\left(A\right)\ge0\ \)
\(P(\Omega)=1\)
\(A\cap B = \{\} \Rightarrow P(A\cup B) = P(A) + P(B)\)

Bei endlichen Zufallsvariablen gibt man die Wahrscheinlichkeitsverteilung oft in tabellarischer Form an.

Manchmal wird die Wahrscheinlichkeitsverteilung auch Wahrscheinlichkeitsmaß oder Wahrscheinlichkeitsgesetz genannt.

Beispiele, bei denen man die Zuordnung mit festen Formel ermitteln kann:

Binomialverteilung (diskrete Verteilung)
Normalverteilung (stetige Verteilung)
Hypergeometrische Verteilung (diskrete Verteilung)
Poissonverteilung (diskrete Verteilung)

Diskrete Verteilungen sind Verteilungen auf diskreten, also abzählbaren Zufallsgrößen.

Stetige Verteilungen sind Verteilungen auf reellen Zahlen.

Beispiel

Folgendes Spiel wird angeboten: Nachdem man 2€ Einsatz gezahlt hat, darf man einmal würfeln. Fällt eine Sechs, bekommt man 5€ ausgezahlt. Fällt eine 2, bekommt man 4€ ausgezahlt. Bei den Zahlen 1 und 3 bekommt man 1€ ausgezahlt. X sei der Gewinn in diesem Spiel.

Um auf die Werte von X zu kommen, musst du von den Auszahlungen den Einsatz abziehen.

Fällt eine 4 oder 5, hat man zwei Euro verloren, bei einer 1 oder 3 hat man einen Euro verloren. Bei einer 2 gewinnt man zwei Euro, bei einer 6 sogar drei Euro.

Wahrscheinlichkeitsverteilung

Beispiel

Folgendes Zufallsexperiment soll untersucht werden: Eine Münze wird dreimal geworfen. Es soll geprüft werden, wie oft sich das vorangegangene Ergebnis wiederholt.

Im ganz linken Pfad wird zwei mal Kopf wiederholt. Im ganz rechten wird zweimal Zahl wiederholt. Beim zweiten, vierten, fünften und siebten Pfad wird einmal ein Ergebnis wiederholt. Bei den restlichen wird nichts wiederholt.

Wahrscheinlichkeitsverteilung

Erklärung von Serlo Education e. V., lizenziert unter CC BY-SA 4.0 – Original bei Serlo, CC BY-SA 4.0, übernommen am 2026-09-03.

Schlau Fassung

Eine Wahrscheinlichkeitsverteilung aufstellen

Vier Schritte: alle möglichen Werte von \(X\) bestimmen → zu jedem Wert die günstigen Ergebnisse zählen → daraus die Wahrscheinlichkeiten berechnen → in einer Tabelle zusammenstellen.
Beispiel „Anzahl Wappen bei zwei Münzwürfen“: Mögliche Werte 0, 1, 2. Ergebnisse: KK, KW, WK, WW. Also \(P(0)=\frac{1}{4}\), \(P(1)=\frac{2}{4}\), \(P(2)=\frac{1}{4}\).
Die Kontrolle: Die Summe aller Wahrscheinlichkeiten muss genau 1 ergeben. Fehlt etwas, wurde ein Wert vergessen; ist es mehr, wurde ein Ergebnis doppelt gezählt.
Darstellung als Stabdiagramm: Auf der \(x\)-Achse die Werte, als Höhe die Wahrscheinlichkeit. Man sieht sofort, wo der Schwerpunkt liegt und ob die Verteilung symmetrisch ist.
Der Erwartungswert liegt im Schwerpunkt. Stellt man sich das Diagramm als Wippe vor, ist \(E(X)\) der Punkt, an dem sie im Gleichgewicht wäre.

Aufgaben

Stelle die Verteilung für „Anzahl Wappen bei zwei Würfen“ auf.
Lösung
\(P(0)=0{,}25\), \(P(1)=0{,}5\), \(P(2)=0{,}25\).
Wie prüft man die Tabelle?
Lösung
Die Summe aller Wahrscheinlichkeiten muss 1 sein.
Berechne \(P(X=7)\) für die Augensumme zweier Würfel.
Lösung
Sechs günstige von 36, also \(\frac{1}{6}\).

Weiterführende Aufgaben

Stellt die vollständige Verteilung der Augensumme zweier Würfel auf, zeichnet das Stabdiagramm und vergleicht es mit 200 tatsächlichen Würfen.