Faire und unfaire Spiele beurteilen

Faire und unfaire Spiele beurteilen

• Fair heißt: \(E(\text{Gewinn}) = 0\). Auf lange Sicht gewinnt und verliert niemand – der Vorteil liegt bei keiner Seite.
• Ein Spiel fair machen heißt, Einsatz oder Auszahlung so zu wählen, dass der Erwartungswert null wird. Man setzt \(E = 0\) an und löst nach der gesuchten Größe auf.
• Das Gesetz der großen Zahlen ist der Grund für die Sicherheit auf lange Sicht: Je mehr Spiele, desto näher liegt der tatsächliche Durchschnitt am Erwartungswert. Ein einzelner Abend sagt nichts, tausend Abende schon.
• Deshalb gewinnt die Bank immer. Beim Roulette beträgt der Erwartungswert je Euro etwa \(-0{,}027\) €. Sie muss kein Glück haben, sie muss nur oft genug spielen lassen.
• Der Spielerfehlschluss: Nach fünfmal Rot ist Schwarz nicht wahrscheinlicher. Die Kugel hat kein Gedächtnis – die Würfe sind unabhängig.

1. Einsatz 2 €, Gewinnwahrscheinlichkeit \(\frac{1}{4}\). Welche Auszahlung macht das Spiel fair?
   Lösung

   \(\frac{1}{4}(a-2) + \frac{3}{4}(-2) = 0 \Rightarrow a = 8\) €.
2. Warum verliert man bei negativem Erwartungswert auf Dauer?
   Lösung

   Nach dem Gesetz der großen Zahlen nähert sich der Durchschnitt dem Erwartungswert an.
3. Ist nach fünfmal Rot Schwarz wahrscheinlicher?
   Lösung

   Nein – die Drehungen sind unabhängig voneinander.

1. Simuliert 10 000 Roulette-Einsätze in einer Tabellenkalkulation und zeichnet den Verlauf des Durchschnittsgewinns. Was zeigt die Kurve?