Binomialverteilung

Die Binomialverteilung beschreibt Wahrscheinlichkeiten von Bernoulli-Ketten, also einer Folge von Bernoulli-Experimenten.

Will man die Wahrscheinlichkeit von \(k\) Treffern eines Ereignisses mit der Wahrscheinlichkeit \(p\) in einer Bernoulli-Kette der Länge \(n\) berechnen, benutzt man den Binomialkoeffizienten und berechnet:

$$B\; (n,p,k)=\binom nk\cdot p^k\cdot (1-p)^{n-k}$$

Herleitung der Formel

Beispiel: Ein Würfel wird zehnmal geworfen und festgestellt, ob eine Sechs gewürfelt wurde.

Man kann sich überlegen, wie eine Reihe von zehn Würfen mit vier Sechsen aussehen kann, z.B.:

• \(6,6,6,6,\overline{6},\overline{6},\overline{6},\overline{6},\overline{6},\overline{6}\) oder
• \(\overline{6},6,6,6,6,\overline{6},\overline{6},\overline{6},\overline{6},\overline{6}\) oder
• \(6,\overline{6},6,\overline{6},6,\overline{6},\overline{6},\overline{6},6,\overline{6}\)

wobei \(\overline{6}\) der Wurf einer "nicht Sechs" bedeutet.

Alle Möglichkeiten aufzuzählen, dauert lange. Sehr lange. Schneller geht es, wenn man direkt die Wahrscheinlichkeiten betrachtet.

Die Wahrscheinlichkeit für den oben als erstes aufgelisteten Fall ist:

\(\frac{1}{6}\cdot\frac{1}{6}\cdot\frac{1}{6}\cdot\frac{1}{6}\cdot\frac{5}{6}\cdot\frac{5}{6}\cdot\frac{5}{6}\cdot\frac{5}{6}\cdot\frac{5}{6}\cdot\frac{5}{6}=\left(\frac{1}{6}\right)^4\cdot\left(\frac{5}{6}\right)^6\)

Die Wahrscheinlichkeit für den zweiten ist:

\(\frac{5}{6}\cdot\frac{1}{6}\cdot\frac{1}{6}\cdot\frac{1}{6}\cdot\frac{1}{6}\cdot\frac{5}{6}\cdot\frac{5}{6}\cdot\frac{5}{6}\cdot\frac{5}{6}\cdot\frac{5}{6}=\left(\frac{1}{6}\right)^4\cdot\left(\frac{5}{6}\right)^6\)

und für den dritten:

\(\frac{1}{6}\cdot\frac{5}{6}\cdot\frac{1}{6}\cdot\frac{5}{6}\cdot\frac{1}{6}\cdot\frac{5}{6}\cdot\frac{5}{6}\cdot\frac{5}{6}\cdot\frac{1}{6}\cdot\frac{5}{6}=\left(\frac{1}{6}\right)^4\cdot\left(\frac{5}{6}\right)^6\)

Kurz: alle möglichen Fälle haben dieselbe Wahrscheinlichkeit, nämlich \(\left(\frac16\right)^4\cdot\left(\frac56\right)^6\).

Es bleibt nur die Frage, wie viele Fälle es gibt! Wie viele Möglichkeiten gibt es 4 aus 10 auszuwählen?

\(\Rightarrow \binom{10}{4}=\displaystyle\frac{10!}{4!\cdot(10-4)!}=210\)

Insgesamt sieht die Berechnung der Wahrscheinlichkeit also so aus:

$$P(\text{"4 mal 6 in 10 Würfen"})=\binom{10}{4}\cdot\left(\frac{1}{6}\right)^4\cdot\left(\frac{5}{6}\right)^6=:B(10,\frac{1}{6},4)$$

Allgemein: \(B(n,p,k)=\binom nk\cdot p^k\cdot (1-p)^{n-k}\)

Erwartungswert und Varianz

• Erwartungswert bei Bernoulli:

  $$\mathrm E(X)\;=\;n\;\cdot\;p$$

• Varianz bei Bernoulli:

  $$\mathrm V(X)\;=\;n\;\cdot\;p\;\cdot\;(1-p)$$

Beispiele für Aufgabentypen 

Im Folgenden sei \(n=4\) und \(p=\frac13\). Berechne die Wahrscheinlichkeit für…

1.  …genau zwei Treffer:

\(\begin{array}{rcl}B\;(4;\frac13;2)&=&\binom 42\cdot\left(\frac13\right)^2\cdot\left(\frac23\right)^2\\&\approx&0,296\end{array}\)

2. …höchstens zwei Treffer: \(\;\)

\(\begin{array}{rcl}B(4;\frac{1}{3};k\le2)&=&\binom{4}{0}\cdot\left(\frac{1}{3}\right)^0\cdot\left(\frac{2}{3}\right)^4+\binom{4}{1}\cdot\left(\frac{1}{3}\right)^1\cdot\left(\frac{2}{3}\right)^3+\binom{4}{2}\cdot\left(\frac{1}{3}\right)^2\cdot\left(\frac{2}{3}\right)^2\\&\approx&0,889\end{array}\)

3. …mindestens zwei Treffer:

\(\begin{array}{rcl}B(4;\frac13;k\geq2)&=&1- B(4;\frac13;k<2)= 1- B(4;\frac13;k\leq 1)\\&=&1-\binom 40\cdot\left(\frac13\right)^0\cdot\left(\frac23\right)^4-\binom 41\cdot\left(\frac13\right)^1\cdot\left(\frac23\right)^3\\&\approx&0,407\end{array}\)

4. …mehr als zwei Treffer:

\(\begin{array}{rcl}B(4;\frac{1}{3};k>2)&=&1-B(4;\frac{1}{3};k\le2)\\&\approx&0,111\end{array}\)

5. …weniger als zwei Treffer:

\(\begin{array}{rcl}B(4;\frac13;k<2)&=&\mathrm B(4;\frac13;k\leq 1)\\&\approx&0,593\end{array}\)

6. …mehr als einer und weniger als vier Treffer:

\(\begin{array}{rcl}B(4;\frac13;1