Binomialverteilung im Sachzusammenhang
Stochastik
Klasse 10
- Wie erkennt man in einem Text die drei Größen \(n\), \(p\) und \(k\)?
- Wann passt das Modell nicht?
Schlau Fassung
Binomialverteilung im Sachzusammenhang
- Drei Fragen an jeden Text: Wie oft wird der Versuch durchgeführt (\(n\))? Was gilt als Treffer und wie wahrscheinlich ist er (\(p\))? Wonach wird gefragt (\(k\) und die Formulierung)?
- Typische Anwendungen: Qualitätskontrolle (Ausschussanteil), Multiple-Choice-Tests durch Raten, Wirksamkeit eines Medikaments, Umfragen mit Ja/Nein-Antwort.
- Beispiel: Ein Test hat 20 Fragen mit je vier Antworten. Wer rät, hat \(n=20\), \(p=0{,}25\), \(E(X)=5\). Für „mindestens 10 richtig“ rechnet man \(1-P(X\le 9) \approx 0{,}014\) – Bestehen durch Raten ist praktisch ausgeschlossen.
- Wann das Modell nicht passt: wenn \(p\) sich ändert (Lernen, Ermüdung, Ziehen ohne Zurücklegen aus einer kleinen Menge) oder die Versuche sich beeinflussen. Dann ist die Rechnung formal richtig und inhaltlich falsch.
- Immer zurückübersetzen: Das Ergebnis 0,014 ist erst dann eine Antwort, wenn daraus ein Satz wird: „In etwa 1,4 % der Fälle …“.
Aufgaben
- Ein Test hat 20 Fragen mit je 4 Antworten. Wie viele richtige erwartet man beim Raten?
Lösung
\(E(X) = 20\cdot 0{,}25 = 5\). - 5 % einer Produktion sind fehlerhaft. Wie wahrscheinlich ist bei 20 Stück kein Fehler?
Lösung
\(0{,}95^{20} \approx 0{,}358\). - Nenne eine Situation, in der das Modell nicht passt.
Lösung
Wenn die Trefferwahrscheinlichkeit sich ändert, etwa durch Übung – oder wenn die Versuche voneinander abhängen.
Weiterführende Aufgaben
- Untersucht eine echte Qualitätskontrolle: Ab wie vielen fehlerhaften Stücken in einer Stichprobe von 50 sollte eine Lieferung zurückgewiesen werden?